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グーデルマン関数（グーデルマンかんすう、英語: Gudermannian function、ドイツ語: Gudermannfunktion）は、クリストフ・グーデルマン（英語版）（1798?1852）にちなんで命名された、複素数を用いない三角関数及び双曲線関数と関係する関数である。
定義グーデルマン関数とその漸近線 y = ±π/2 を青色で示した図

定義は以下のとおりである。 gd ⁡ x = ∫ 0 x d t cosh ⁡ t = arcsin ⁡ ( tanh ⁡ x ) = arctan ⁡ ( sinh ⁡ x ) = 2 arctan ⁡ [ tanh ⁡ ( 1 2 x ) ] = 2 arctan ⁡ ( e x ) − 1 2 π . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\\&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan \left(\sinh x\right)\\&=2\arctan \left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)\right]=2\arctan \left(e^{x}\right)-{\frac {1}{2}}\pi .\end{aligned}}}

グーデルマン関数と関連する公式の中には、定義として全く運用できないものがある。例えば、実数x について、 arccos ⁡ sech ⁡ x = 。 gd ⁡ x 。 = arcsec ⁡ ( cosh ⁡ x ) {\displaystyle \arccos \operatorname {sech} x=\left\vert \operatorname {gd} x\right\vert =\operatorname {arcsec}(\cosh x)} 　である。「逆三角関数」を参照

以下の恒等式が成り立つ。 sin ⁡ gd ⁡ x ˙ = tanh ⁡ x ; csc ⁡ gd ⁡ x = coth ⁡ x ; cos ⁡ gd ⁡ x = sech ⁡ x ; sec ⁡ gd ⁡ x = cosh ⁡ x ; tan ⁡ gd ⁡ x = sinh ⁡ x ; cot ⁡ gd ⁡ x = csch x ; . tan ⁡ 1 2 gd x = tanh ⁡ 1 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\color {white}{\dot {\color {black}\sin \operatorname {gd} x}}}&=\tanh x;\quad \csc \operatorname {gd} x=\coth x;\\\cos \operatorname {gd} x&=\operatorname {sech} x;\quad \,\sec \operatorname {gd} x=\cosh x;\\\tan \operatorname {gd} x&=\sinh x;\quad \,\cot \operatorname {gd} x=\operatorname {csch} \,x;\\{}_{\color {white}.}\tan {\tfrac {1}{2}}\operatorname {gd} \,x&=\tanh {\tfrac {1}{2}}x.\end{aligned}}} グーデルマン関数の逆関数