グリーン?久保公式(英: Green?Kubo relations)あるいは中野?久保公式とは、線形応答理論における、輸送係数をカレント[要曖昧さ回避]の時間相関で表す関係式を一般化して定式化されたものである。メルヴィル・S・グリーン、中野藤生、久保亮五らの名前を冠して名付けられている[1]。

外場 H ′ ( t ) = − A F ( t ) {\displaystyle H'(t)=-AF(t)} による物理量 B {\displaystyle B} の線形応答 Tr ⁡ ( ρ ′ ( t ) B ) {\displaystyle \operatorname {Tr} (\rho '(t)B)} は、応答関数を ϕ B A ( t ) {\displaystyle \phi _{BA}(t)} とすると Tr ⁡ ( ρ ′ ( t ) B ) = ∫ − ∞ t ϕ B A ( t − t ′ ) F ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \operatorname {Tr} (\rho '(t)B)=\int _{-\infty }^{t}\phi _{BA}(t-t')F(t')dt'} ϕ B A ( t ) ≡ − 1 i ℏ Tr ⁡ ( [ A , ρ 0 ] B ¯ ( t ) ) = 1 i ℏ Tr ⁡ ( [ ρ 0 , A ] B ¯ ( t ) ) = 1 i ℏ Tr ⁡ ( [ A , B ¯ ( t ) ] ρ 0 ) {\displaystyle \phi _{BA}(t)\equiv -{1 \over {i\hbar }}\operatorname {Tr} ([A,\rho _{0}]{\bar {B}}(t))={1 \over {i\hbar }}\operatorname {Tr} ([\rho _{0},A]{\bar {B}}(t))={1 \over {i\hbar }}\operatorname {Tr} ([A,{\bar {B}}(t)]\rho _{0})}

となる。
輸送係数におけるグリーン?久保公式

外場 F e x {\displaystyle F_{\mathrm {ex} }} が存在するとき、熱伝導率や粘性率などの輸送係数を L ( 0 ) {\displaystyle L(0)} 、カレントを J {\displaystyle {\boldsymbol {J}}} とすると、輸送係数は以下のように時間相関関数で表せる。 L ( 0 ) = lim F e x → 0 L ( F e x ) = β V ∫ 0 ∞ lim F e x → 0 ⟨ J ( 0 ) J ( t ) ⟩ F e x d t {\displaystyle L(0)=\lim _{F_{\mathrm {ex} }\to 0}L(F_{\mathrm {ex} })=\beta V\int _{0}^{\infty }\lim _{F_{\mathrm {ex} }\to 0}\langle J(0)J(t)\rangle _{F_{\mathrm {ex} }}dt}

ここで ⟨ ⟩ F e x {\displaystyle \langle \quad \rangle _{F_{\mathrm {ex} }}} は外場 F e x {\displaystyle F_{\mathrm {ex} }} があるときのアンサンブル平均である。
導出
系のハミルトニアン

ある系が時間 t について t = −∞ で熱平衡状態であるとする。この時点で系に外場は印加されていない。時間 t に依存する外場 H′(t)を考え、これが最初の時点(t = −∞)から十分時間が経った段階で系に働くとして、その時の該当する系全体のハミルトニアンは次のように表される。 H total = H 0 + H ′ ( t ) {\displaystyle H_{\text{total}}=H_{0}+H'(t)}

ここでH0 は外場のない時の系のハミルトニアンで、これは時間に依存しないとする。

外場H′(t)が次のように表現できるとする。 H ′ ( t ) = − A F ( t ) {\displaystyle H'(t)=-AF(t)}

ここでA は時間を含まない演算子で、系におけるある物理量を表す。F(t) はこの演算子を通じて系に作用する外場（の大きさ）であり、これは演算子ではないとする。F(t) は次を満たさなければならない。 lim t → − ∞ F ( t ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to -\infty }F(t)=0}
密度行列

とする。ここで、系全体を記述する密度行列（統計演算子）を導入し、これを ρtotal とすると Htotal の式に対応して系全体の密度行列は、 ρ total = ρ 0 + ρ ′ ( t ) {\displaystyle \rho _{\text{total}}=\rho _{0}+\rho '(t)}

と表される。系全体の時間発展は次のフォン・ノイマンの式で表される。 i ℏ ∂ ρ total ∂ t = [ H , ρ total ] {\displaystyle i\hbar {\partial \rho _{\text{total}} \over {\partial t}}=[H,\rho _{\text{total}}]}

ここで ℏ = h / 2 π {\displaystyle \hbar =h/2\pi } 、h はプランク定数、上式右辺の括弧は交換関係を表している。 ρ′(t) は外場に対応する密度行列であり、これは次を満たさなければならない。 lim t → − ∞ ρ ′ ( t ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to -\infty }\rho '(t)=0}

外場に関係する H′(t), ρ′(t) は、それぞれH0, ρ0 に対し十分に小さいものと考え、2次の項を無視すると以下が得られる。 i ℏ ∂ ρ ′ ∂ t = [ H 0 , ρ ′ ] + [ H ′ , ρ 0 ] {\displaystyle i\hbar {\partial \rho ' \over {\partial t}}=[H_{0},\rho ']+[H',\rho _{0}]}

次にρ′(t) を次のように表現し直す。 ρ ¯ ′ ≡ exp ⁡ ( i H 0 t ℏ ) ρ ′ ( t ) exp ⁡ ( − i H 0 t ℏ ) {\displaystyle {\bar {\rho }}'\equiv \exp \left({iH_{0}t \over \hbar }\right)\rho '(t)\exp \left({-{iH_{0}t \over \hbar }}\right)}

この時間発展は次のようになる。 i ℏ ∂ ρ ¯ ′ ( t ) ∂ t = [ H ¯ ′ ( t ) , ρ 0 ] {\displaystyle i\hbar {\partial {\bar {\rho }}'(t) \over {\partial t}}=[{\bar {H}}'(t),\rho _{0}]} H ¯ ′ ( t ) = exp ⁡ ( i H 0 t ℏ ) H ′ ( t ) exp ⁡ ( − i H 0 t ℏ ) {\displaystyle {\bar {H}}'(t)=\exp \left({iH_{0}t \over \hbar }\right)H'(t)\exp \left({-{iH_{0}t \over \hbar }}\right)}

よって ρ ¯ ′ {\displaystyle {\bar {\rho }}'} の時間発展は ρ ¯ ′ ( t ) = 1 i ℏ ∫ − ∞ t [ H ¯ ′ ( t ′ ) , ρ 0 ] d t ′ {\displaystyle {\bar {\rho }}'(t)={1 \over {i\hbar }}\int _{-\infty }^{t}[{\bar {H}}'(t'),\rho _{0}]dt'}