統計力学

熱力学 · 気体分子運動論

粒子統計
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グランドカノニカルアンサンブル
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熱力学
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科学者
マクスウェル · ギブズ · ボルツマン · アインシュタイン · オンサーガー · ウィルソン · 久保亮五 · カダノフ · フィッシャー · 川崎恭治 · パリージ · エドワーズ · ローレンツ · 蔵本由紀 · ジャルジンスキー

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表

話

編

歴

グランドポテンシャル（英: grand potential）とは、熱力学における示量性状態量の1つである。統計力学においてはグランドカノニカルアンサンブルと関係付けられる。グランドポテンシャルはエネルギーの次元を持つ。記号 J {\displaystyle J} や Ω {\displaystyle \Omega } で表されることが多い。また、単に熱力学ポテンシャル（ねつりきがくポテンシャル、英: thermodynamic potential）と呼ばれることもある。
定義

グランドポテンシャル J {\displaystyle J} は、ヘルムホルツエネルギー F {\displaystyle F} 、化学ポテンシャル μ {\displaystyle \mu } 、物質量 N {\displaystyle N} を用いて

J = F − μ N {\displaystyle J=F-\mu N}

で定義される。

グランドポテンシャルを温度 T {\displaystyle T} 、体積 V {\displaystyle V} 、化学ポテンシャル μ {\displaystyle \mu } の関数 J ( T , V , μ ) {\displaystyle J(T,V,\mu )} と見ると、完全な熱力学関数となる。また、ヘルムホルツエネルギーを温度 T {\displaystyle T} 、体積 V {\displaystyle V} 、物質量 N {\displaystyle N} の関数 F ( T , V , N ) {\displaystyle F(T,V,N)} としてみたとき、グランドポテンシャルは N {\displaystyle N} に関するルジャンドル変換

J ( T , V , μ ) = F ( T , V , N ( T , V , μ ) ) − μ N ( T , V , μ ) {\displaystyle J(T,V,\mu )=F(T,V,N(T,V,\mu ))-\mu \,N(T,V,\mu )}

と見ることができる。「熱力学ポテンシャル」も参照
微分

グランドポテンシャル J ( T , V , μ ) {\displaystyle J(T,V,\mu )} の全微分は

d J ( T , V , μ ) = − S ( T , V , μ ) d T − p ( T , V , μ ) d V − N ( T , V , μ ) d μ {\displaystyle dJ(T,V,\mu )=-S(T,V,\mu )dT-p(T,V,\mu )dV-N(T,V,\mu )d\mu }

となる。ここで S {\displaystyle S} はエントロピー、 p {\displaystyle p} は圧力、 N {\displaystyle N} は物質量である。従って、偏微分は

S ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ T ) V , μ {\displaystyle S(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial T}}\right)_{V,\mu }}

p ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ V ) T , μ {\displaystyle p(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial V}}\right)_{T,\mu }}