この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "クロソイド曲線" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2012年11月）
クロソイド曲線のプロット( − 15 ≤ l ≤ 15 {\displaystyle -15{\leq }l{\leq }15} )

クロソイド曲線（クロソイドきょくせん、英: clothoid curve）とは緩和曲線の一種である[1]。「クロソイド」という名は、人間の運命の糸を紡ぐとされるギリシア神話の女神クローソーに由来するもので、イタリアの数学者アーネスト・チェザロによって名付けられた[2]。光学分野においては、同曲線はオイラー螺旋（オイラーらせん）やコルニュ螺旋（コルニュらせん）とも呼ばれる。
詳細

曲率を一定割合で変化させていった場合に描かれる軌跡がクロソイド曲線である[1]。曲率半径と始点からの曲線長をそれぞれ R {\displaystyle R} と L {\displaystyle L} としたとき、両者の積は一定となる。 R L = A 2 {\displaystyle RL=A^{2}}

A {\displaystyle A} は、クロソイドパラメーターと呼ばれる、長さの次元を持つ定数である。この式において、無次元量 r = R / A {\displaystyle r=R/A} および l = L / A {\displaystyle l=L/A} をそれぞれ定義すると、 r l = 1 {\displaystyle rl=1} となり、 r {\displaystyle r} および l {\displaystyle l} の幾何学的性質から、実際の応用にはスケール因子として機能する A {\displaystyle A} を調節することで足りる。これは、初等幾何学の三角形の相似のように、多くの曲線の中で極稀な相似則を有する曲線である。この相似則を利用して、直線・円弧・クロソイド曲線の複合した複雑な道路の路線設計が可能となる。

始点の座標をユークリッド空間上の原点として、 x {\displaystyle x} 軸を原点における接線方向に取れば、無次元化された座標 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} は媒介変数 θ {\displaystyle {\theta }} と既に定義されている無次元化された曲線長 l {\displaystyle l} を用いて次のように書き表される。 x ( l ) = ∫ 0 l cos θ 2 2 d θ , y ( l ) = ∫ 0 l sin θ 2 2 d θ {\displaystyle x(l)={\int }_{0}^{l}{\cos }{\frac {{\theta }^{2}}{2}}d{\theta },{\quad }y(l)={\int }_{0}^{l}{\sin }{\frac {{\theta }^{2}}{2}}d{\theta }}

本式中の積分はフレネル積分として知られている。

なお、 0 {\displaystyle 0} の曲率を有するものが直線で、そうではない有限値に曲率を固定したものが円である[1]。
実用例
道路・線路

例えば、自動車の運転において、運転者が一定の走行速度で、ハンドルを一定の角速度で回していった場合に自動車が走行した軌跡はクロソイド曲線を描く[3]。もし、直線の道路に円弧状の道路が直接接続されると、その地点で曲率半径の変化に不連続が生じて、自動車ならば急なハンドル操作を、自動二輪車ならば車体の急な倒し込みを、それぞれ行わなければ円周上を辿れない。すなわち、躍度の急増で、乗員や積み荷が危険に曝される。そのために、直線と円弧とを繋ぐ中間にクロソイド曲線等の緩和曲線が挿入される。この緩和曲線に沿って、運転者に取って好ましい、ハンドルを滑らかに等速回転する運転操作を行えば、自動車走行路線長の最短を通り、2次微分連続( C 2 {\displaystyle C^{2}} 連続)で変曲点のない一定の曲率の線上を、回転揺れなく走行できる。つまり、クロソイド曲線とは、慣性航法の理想軌道上を走行する、消費エネルギーを最小にする経路である。既述の通り、クロソイド曲線は容易なハンドル操作のために道路等に利用されているが、クロソイド曲線の区間が短過ぎると、これも運転者に無理なそれを強いることになってしまう[3]。安全なハンドル操作のためには、クロソイド曲線区間の走行時間が3秒以上とならなければならない[3]。

クロソイド曲線は、ドイツの第一次世界大戦後の復興の象徴となるアウトバーン建設で、総監督を務めたフリッツ・トートによって道路線形として世界で最初に採用された。日本においては、同曲線は1952年に国道17号の三国峠付近の区間を改良する際に初めて導入された[4]。

この峠の群馬県側には記念碑『クロソイド曲線碑』が建てられている[5][6]。国道17号沿いに設置されたクロソイド曲線碑（2016年5月撮影）

クロソイド曲線が日本の道路に本格的に採用され始めたのは、フリッツ・トートが監督したアウトバーンの建設に従事していた経歴を持ち、世界銀行の提案が発端となって名神高速道路建設の技術顧問として来日滞在したフランツ・クサーヴァー・ドルシュによる平面線形の主要線形要素における採用が契機である[7][8]。その後は、同曲線は、道路のみならず、曲率半径の小さい地下鉄等に用いられている。