クロス積（クロスせき、（英: cross product）は、3次元空間（3次元有向内積空間）において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。

2つのベクトル a, b のクロス積は乗算記号を用いて a × b、あるいは角括弧を用いて [a, b] と表される。
呼称

「クロス積」という呼称は、積の記号に十字（×）を用いることに由来する（同様にベクトルの内積は点（⋅）を用いることからドット積と呼ばれる）。またクロス積の別称として、ベクトル積（ベクトルせき、（英: vector product）がある。「ベクトル積」は積 a × b がベクトルとなることに由来する（同様に積 a ⋅ b はスカラーとなるため、ドット積はスカラー積とも呼ばれる）。

日本語や中国語では、クロス積（叉積、叉?）をしばしば外積（外積、外?）と呼び、しばしば同義語として扱う。しかし「外積」という語は、より一般には外積代数における楔積も指し、必ずしも「クロス積」とは一致しない。楔積とクロス積を区別のため、前者を外積と呼び後者をクロス積と呼ぶ。

outer product もまた「外積」と訳されるが、こちらは直積（direct product）を意味する。
表記

2つのベクトル a, b のクロス積は、以下のように表記される。

乗算記号を用いる場合： a × b {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}}

角括弧を用いる場合： [ a , b ] {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]}

定義右手の法則によるクロス積の向き右手系の外積

3次元空間上の2つのベクトル a, b のクロス積 a × b は、以下のように定義される： a × b = 。 a 。 。 b 。 sin ⁡ ( θ )   n {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=\left|{\boldsymbol {a}}\right|\left|{\boldsymbol {b}}\right|\sin(\theta )\ {\boldsymbol {n}}}

ただし、θ は2つのベクトルのなす角の角度、|⋅| はベクトルの大きさ、n は2つのベクトルがなす平面に対し垂直な単位ベクトルを表す（n は右手系になるように取る）。
行列式による定義

3次元の向き付けられたベクトル空間におけるクロス積は、任意のベクトル v に対してドット積との間に

v ⋅ ( a × b ) = det ⟨ v , a , b ⟩ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=\det \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle }

の関係を満たすベクトルの二項演算である。ここで ⟨ · , · , · ⟩ はベクトルを標準的な基底により列ベクトルと同一視することで得られる3次正方行列である。det は行列式を表す。

幾何的なベクトルの演算として定義できる。

行列式の交代性から、

a ⋅ ( a × b ) = b ⋅ ( a × b ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {b}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=0}

である。

従って、2つのベクトル a、b のクロス積 a×b は、元のベクトル a、b の両方と直交する。言い換えれば、2つのベクトルが作る平面の法線と平行な方向を向いている。

ただし、法線のどちらの方向に向いているかは座標軸の選び方に依存し、右手系と左手系に分けられる。右手系の場合は、a をその始点の周りに180度以下の回転角で回して b に重ねるときに右ねじの進む方向である。すなわち、右手の親指を a、人差し指をb としたときの中指がクロス積 a×b の向きを表す。左手系の場合は、b をその始点の周りに180度以下の回転角で回して a に重ねるときに右ねじの進む向きである。

行列式とスカラー積の線型性からクロス積も双線型性をもつ。 特に、2つのベクトル a、b のクロス積 a×b は、元のベクトル a、b の大きさに比例する。 また、二つのベクトル a、b のなす角を θ とすれば、標準的な基底の下で

a = ( a 0 0 ) ,   b = ( b cos ⁡ θ b sin ⁡ θ 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{pmatrix}a\\0\\0\\\end{pmatrix}},~{\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b\cos \theta \\b\sin \theta \\0\\\end{pmatrix}}}

と成分表示することができる。これらのクロス積は

a × b = ( 0 0 a b sin ⁡ θ ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}0\\0\\ab\sin \theta \\\end{pmatrix}}}

となる。従ってクロス積の大きさは

。 a × b 。 = 。 a 。 。 b 。 sin ⁡ θ {\displaystyle \vert {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\vert =\vert {\boldsymbol {a}}\vert \,\vert {\boldsymbol {b}}\vert \sin \theta }

であり、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積に等しい。
成分表示

標準的な基底を (ei,ej)=δi,j として、ベクトル a の成分 ai=(ei,a) により列ベクトルとの同一視

a ≐ ( a 1 a 2 a 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\doteq {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}}

を行う。ベクトル a、b のベクトル積 [a,b] は

[ a , b ] 1 = ( e 1 , [ a , b ] ) = 。 1 a 1 b 1 0 a 2 b 2 0 a 3 b 3 。 = a 2 b 3 − a 3 b 2 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{1}=({\boldsymbol {e}}_{1},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}1&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}

[ a , b ] 2 = ( e 2 , [ a , b ] ) = 。 0 a 1 b 1 1 a 2 b 2 0 a 3 b 3 。 = a 3 b 1 − a 1 b 3 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{2}=({\boldsymbol {e}}_{2},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\1&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}