この項目「クリフォード代数」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：英語版 "Clifford algebra" 20 November 2014 at 16:51
）この項目では、直交クリフォード代数について説明しています。斜交クリフォード代数については「ワイル代数」をご覧ください。
数学において、クリフォード代数 (クリフォードだいすう、英: Clifford algebra) は結合多元環の一種である。K-代数として、それらは実数、複素数、四元数、そしていくつかの他の超複素数系を一般化する[1][2]。クリフォード代数の理論は二次形式と直交変換の理論と密接な関係がある。クリフォード代数は幾何学、理論物理学、デジタル画像処理を含む種々の分野において重要な応用を持つ。イギリス人幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォード（英語版）にちなんだ名称である。
最もよく知られたクリフォード代数、あるいは直交クリフォード代数 (ちょっこうクリフォードだいすう、英: orthogonal Clifford algebra) は、リーマンクリフォード代数 (リーマンクリフォードだいすう、英: Riemannian Clifford algebra) とも呼ばれる[3]:83。 クリフォード代数は二次形式 Q を伴った体 K 上のベクトル空間 V を含み，それによって生成される単位的結合多元環である。クリフォード代数 C?(V, Q) は次の条件を満たす V から生成される「最も自由な」代数である[注釈 1]： v 2 = Q ( v ) 1 ( ∀ v ∈ V ) , {\displaystyle v^{2}=Q(v)1\quad (\forall v\in V),} ただし左辺の積はクリフォード代数としての積であり、1 は乗法単位元である。 クリフォード代数の定義は「裸の」(bare) K-代数よりも多くの構造をそれに与える： 特にそれは V に同型な特定の、あるいは特別に選ばれた部分空間を持つ。そのような部分空間はクリフォード代数に同型な K-代数のみが与えられても一般には一意には決まらない。 基礎体 K の標数が 2 でなければ、この基本関係式を次の形に書き直すことができる： u v + v u = 2 ⟨ u , v ⟩ 1 ( ∀ u , v ∈ V ) , {\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\quad (\forall u,v\in V),} ただし ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))} は極化恒等式(polarization identity)によって Q と結びついた対称双線型形式である。この関係式を満たす「最も自由な」 (freest) あるいは「最も一般」 (most general) な代数であることのアイデアは普遍性の概念を通じて下記でされるように正式に表現できる。 標数 2 の場合の二次形式とクリフォード代数は例外的な場合になる。特に、char(K) = 2 であれば、二次形式が対称双線型形式を決定すること、あるいはすべての二次形式が直交基底を持つということは正しくない。この記事のステートメントの多くは標数が 2 でないという条件を含み、条件が除かれると誤りである。 クリフォード代数は外積代数と近い関係にある。実は、Q = 0 であればクリフォード代数 C?(V, Q) はちょうど外積代数 ?(V) になる。零ではない Q に対して基礎体 K の標数が 2 でないときにはいつでも ?(V) と C?(V, Q) の間の自然な「線型」同型が存在する。つまり、それらはベクトル空間として自然に同型であるが、異なる乗法を与える（標数 2 の場合にはそれらはなおベクトル空間として同型であるが、自然にではない）。指定された部分空間とクリフォード乗法を合わせたものはその内容が外積代数にくらべるて真により豊かである、なぜならば Q がもたらす追加の情報を使うからである。 より正確には、ワイル代数が対称代数の量子化であるのと同じ方法で、クリフォード代数は外積代数の量子化（cf. 量子群）であると考えることができる。 ワイル代数とクリフォード代数ではさらに *-環という構造を持ち、CCR and CAR algebras V を体 K 上のベクトル空間とし、Q: V → K を V 上の二次形式とする。
導入と基本的性質
外積代数の量子化として
普遍的な性質と構成
