この項目「クリフォード代数」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：英語版 "Clifford algebra" 20 November 2014 at 16:51）
修正、加筆に協力し、現在の表現をより原文に近づけて下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2014年12月）

この項目では、直交クリフォード代数について説明しています。斜交クリフォード代数については「ワイル代数」をご覧ください。

数学において、クリフォード代数 (Clifford algebra) は結合多元環の一種である。K-代数として、それらは実数、複素数、四元数、そしていくつかの他の超複素数系を一般化する[1][2]。クリフォード代数の理論は二次形式と直交変換の理論と親密に関係がある。クリフォード代数は幾何学、理論物理学、デジタル画像処理を含む種々の分野において重要な応用を持つ。それらはイギリス人幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォード（英語版）にちなんで名づけられている。

最もよく知られたクリフォード代数、あるいは直交クリフォード代数 (orthogonal Clifford algebra) は、リーマンクリフォード代数 (Riemannian Clifford algebra) とも呼ばれる[3]:83。目次

1 導入と基本的性質

1.1 外積代数の量子化として


2 普遍的な性質と構成

3 基底と次元

4 例： 実及び複素クリフォード代数

4.1 実係数の場合

4.2 複素係数の場合


5 例： 四元数と双対四元数の構成

5.1 四元数

5.2 双対四元数


6 性質

6.1 外積代数との関係

6.2 次数付け

6.3 反自己同型写像

6.4 クリフォードスカラー積


7 クリフォード代数の構造

8 クリフォード群

8.1 スピノルノルム


9 スピン群とピン群

10 スピノル

10.1 実スピノル


11 応用

11.1 微分幾何学

11.2 物理学

11.3 コンピュータビジョン


12 関連項目

13 脚注

13.1 注釈

13.2 出典


14 参考文献

15 関連文献

16 外部リンク

導入と基本的性質

クリフォード代数は二次形式 Q を伴った体 K 上のベクトル空間 V を含みそれによって生成される単位的結合多元環である。クリフォード代数 C?(V, Q) は次の条件を満たす V によって生成される「最も自由な」代数である[注釈 1]： v 2 = Q ( v ) 1 ( ∀ v ∈ V ) , {\displaystyle v^{2}=Q(v)1\quad (\forall v\in V),}

ただし左辺の積は代数の積であり、1 は乗法単位元である。

クリフォード代数の定義は「裸の」(bare) K-代数よりも多くの構造をそれに与える： 特にそれは V に同型な特定された、あるいは特別に選ばれた部分空間を持つ。そのような部分空間はクリフォード代数に同型な K-代数のみが与えられても一般には一意的には決定できない。

基礎体 K の標数が 2 でなければ、この基本関係式を次の形に書き直すことができる： u v + v u = 2 ⟨ u , v ⟩ 1 ( ∀ u , v ∈ V ) , {\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\quad (\forall u,v\in V),}

ただし ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}

は分極公式（英語版）によって Q と結びついた対称双線型形式である。この関係式を満たす「最も自由な」 (freest) あるいは「最も一般」 (most general) な代数であることのアイデアは普遍性の概念を通じて下記でされるように正式に表現できる。

標数 2 において二次形式とクリフォード代数は例外的なケースをなす。特に、char(K) = 2 であれば、二次形式は対称双線型形式を決定すること、あるいはすべての二次形式は直交基底を持つことは正しくない。この記事のステートメントの多くは標数が 2 でないという条件を含み、条件が除かれると誤りである。
外積代数の量子化として

クリフォード代数は外積代数と近い関係にある。実は、Q = 0 であればクリフォード代数 C?(V, Q) はちょうど外積代数 ?(V) である。0 でない Q に対して基礎体 K の標数が 2 でないときにはいつでも ?(V) と C?(V, Q) の間の自然な「線型」同型が存在する。つまり、それらはベクトル空間として自然に同型であるが、異なる乗法である（標数 2 の場合にはそれらはなおベクトル空間として同型であるが、自然にではない）。特定された部分空間とともにクリフォード乗法は外積代数よりも真により豊かである、なぜならばそれは Q によって提供される追加の情報を使うからである。

より正確には、クリフォード代数は、ワイル代数が対称代数の量子化であるのと同じ方法で、外積代数の量子化（cf. 量子群）と考えることができる。

ワイル代数とクリフォード代数は *-環というさらなる構造を持ち、CCR and CAR algebras において議論されているように、超代数（英語版）の偶項と奇項として統一できる。
普遍的な性質と構成

V を体 K 上のベクトル空間とし、Q: V → K を V 上の二次形式とする。興味のあるたいていのケースでは体 K は実数体 R か複素数体 C か有限体である。

クリフォード代数 C?(V, Q) は次の普遍性によって定義されるすべての v ∈ V に対して i(v)2 = Q(v)1 を満たす線型写像 i: V → C?(V, Q) を伴った K 上の単位的結合多元環である： K 上の任意の結合代数 A とj(v)2 := Q(v)1A (∀v ∈ V)

（ただし 1A は A の乗法単位元を表す）なる任意の線型写像 j: V → A が与えられると、次の図式が交換する一意的な多元環準同型（英語版） f: C?(V, Q) → A （すなわち f ? i = j）が存在する：

（標数≠2 において）Q の代わりに対称双線型形式 ⟨・,・⟩ で考えると、j に対する要求は j ( v ) j ( w ) + j ( w ) j ( v ) = 2 ⟨ v , w ⟩ 1 A ( ∀ v , w ∈ V ) . {\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=2\langle v,w\rangle 1_{A}\quad (\forall v,w\in V).}