幾何学において、キーペルト円錐曲線（キーベルトえんすいきょくせん）とは三角形に関する2つの円錐曲線の総称である。一つはキーペルト双曲線(英:Kiepert Hyperbola)、もう一つは キーペルト放物線(英:Kiepert parabola)である。三角形 A B C {\displaystyle ABC} に対して3つの二等辺三角形を三角形 A ′ B C {\displaystyle A^{\prime }BC} , B ′ C A {\displaystyle B^{\prime }CA} , C ′ A B {\displaystyle C^{\prime }AB} を同じ向きに相似になるよう作る。このとき三角形 A B C {\displaystyle ABC} と A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }} は配景（英語版）的で配景の中心の軌跡をキーペルト双曲線、配景の軸の包絡線をキーペルト放物線と言う。

キーペルト双曲線は3頂点、重心、垂心を通る円錐曲線、キーペルト放物線はオイラー線とX(110)をそれぞれ準線、焦点とする放物線としても定義できる[1]。R. H. Eddy と R. Fritscは論文で、キーペルト円錐曲線について以下の様に言及している[2]。"If a visitor from Mars desired to learn the geometry of the triangle but could stay in the earth's relatively dense atmosphere only long enough for a single lesson, earthling mathematicians would, no doubt, be hard-pressed to meet this request. In this paper, we believe that we have an optimum solution to the problem. The Kiepert conics ..."
キーペルト双曲線

詳しくは「キーペルト双曲線」を参照

キーペルト双曲線は、1869年ルードヴィヒ・キーペルト（英語版）が、1868年のエーミル・ルモワーヌの "三角形の辺に正三角形を外接させたときの頂点がつくる三角形" という問題の解法として示した双曲線である[2]。

a , b , c {\displaystyle a,b,c} を各辺の長さ A , B , C {\displaystyle A,B,C} を角の大きさとする。
座標

キーペルト双曲線は重心座標 x : y : z {\displaystyle x:y:z} で以下のように表される。 b 2 − c 2 x + c 2 − a 2 y + a 2 − b 2 z = 0. {\displaystyle {\frac {b^{2}-c^{2}}{x}}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{y}}+{\frac {a^{2}-b^{2}}{z}}=0.}
中心と漸近線

キーペルト双曲線は X(115)でその重心座標は以下の式で与えられる。
( b 2 − c 2 ) 2 : ( c 2 − a 2 ) 2 : ( a 2 − b 2 ) 2 {\displaystyle (b^{2}-c^{2})^{2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2}} .

キーペルト双曲線の漸近線はブロカール軸のシムソン線である。

キーペルト双曲線は直角双曲線で、その離心率は 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} である。

性質

X(115)は九点円上にある。また第一、第二フェルマー点の中点である。

ブロカール軸上の点の等角共役の軌跡である。

正三角形でない三角形 A B C {\displaystyle ABC} と点 P {\displaystyle P} について、 p {\displaystyle p} を P {\displaystyle P} の三線極線とする。 p {\displaystyle p} がオイラー線に垂直であるような P {\displaystyle P} の軌跡はキーペルト双曲線である。

キーペルト放物線

キーペルト放物線は1888年、ドイツの数学教師アウグストゥス・アーツが"school program"の中で研究した放物線である[2][3]。

キーペルト放物線は重心座標 x : y : z {\displaystyle x:y:z} で以下のようにあらわされる。
f 2 x 2 + g 2 y 2 + h 2 z 2 − 2 f g x y − 2 g h y z − 2 h f z x = 0 {\displaystyle f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-2fgxy-2ghyz-2hfzx=0}

ただし

f = b 2 − c 2 a , g = c 2 − a 2 b , h = a 2 − b 2 c {\displaystyle f={\frac {b^{2}-c^{2}}{a}},g={\frac {c^{2}-a^{2}}{b}},h={\frac {a^{2}-b^{2}}{c}}} .