キャロル数(Carol number)とは、 4 n − 2 n + 1 − 1 {\displaystyle 4^{n}-2^{n+1}-1} の形をした整数である。 ( 2 n − 1 ) 2 − 2 {\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2} とも表せる。小さい方から、キャロル数は−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527,… (オンライン整数列大辞典の数列 A093112
)と続く。キャロル数はCletus Emmanuelによって研究され、その友人のCarol G. Kirnonにちなんでキャロル数と名付けられた[1][2]。 n > 2 において、n 番目のキャロル数の二進表現は、n − 2 個の連続する 1 と 0 と、n + 1 個の 1 で表される。より数学的には、 ∑ i ≠ n + 2 2 n 2 i − 1 {\displaystyle \sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}} と書ける。 したがって、例えば3番目のキャロル数である47は101111、4番目のキャロル数である223は11011111などとなる。2n 番目のメルセンヌ数と n 番目のキャロル数の差は 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n+1}} である。この性質は、キャロル数を ( 2 2 n − 1 ) − 2 n + 1 {\displaystyle (2^{2n}-1)-2^{n+1}} と表現するとわかりやすい。また、n 番目のKynea数と n 番目のキャロル数の差は 2n+2 である。 7を始めとして、キャロル数は3個おきに7の倍数が並ぶ。したがって、キャロル数は x > 0 において 3x + 2 番目以外で素数になりうる。キャロル数で素数であるもの（キャロル素数）には、7, 47, 223, 3967, 16127 （A091516 7番目のキャロル数は5番目のキャロル素数で、16127である。また、逆から数字を読んだ72161も素数であり、16127は最小のキャロルエマープである[3]。12番目のキャロル数は7番目のキャロル素数で、16769023である。これもまたエマープである[4]。 2018年2月 (2018-02)現在[update] b進キャロル数を、(bn − 1)2 − 2 (n > 0)と定義できる。b進キャロル数は b が偶数のときのみ素数になりうる。もしb が奇数であれば、b 進キャロル数は偶数となり、素数ではない。bn進キャロル数は、b 進キャロル数の一部である。 n ? 1 において {(2b)n−1}2 − 2 が素数となるのは、それぞれの b において2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, ... 番目である。 bb進キャロル数が素数となる n (n が30000までは網羅)OEIS
二進表現
キャロル素数
一般化
22, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, ...A091515
41, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, ...
61, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, ...A100901
81, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, ...
101, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, ...A100903
123, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, ...
141, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, ...A100905
161, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, ...
182, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, ...
201, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, ...
221, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, ...A100907
242, 27, 92, 4950, 20047, ...
26159, 879, 4744, 5602, 74387, ...
281, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, ...
301, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, ...
322, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, ...
341, 4, 258, ...
361, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, ...
381, 2, 13, 560, 28933, ...
404, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, ...
423, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, ...
441, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, ...
4612, 269, 1304, 5172, ...
481, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, ...
501, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, ...
2018年2月 (2018-02)現在[update]一般化したb進キャロル素数で知られている最大のものは (2695631 − 1)2 − 2 である。
参考文献^ ⇒Cletus Emmanuel at Prime Pages
^ Message to Yahoo primenumbers group from Cletus Emmanuel
^ ⇒Prime Curios 16127 at Prime Pages
^ ⇒Prime Curios 16769023 at Prime Pages
^ ⇒Entry for 695631st Carol number at Prime Pages
^ ⇒Carol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch
外部リンク
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⇒Prime Database entry for Carol(695631)
⇒Carol and Kynea Primes
⇒Carol and Kynea Prime Search
表
話
編
歴
素数の分類
生成式
フェルマー (22n + 1)
メルセンヌ (2p − 1)
二重メルセンヌ (22p−1 − 1)
ワグスタッフ ((2p + 1)/3)
プロス (k・2n + 1)
階乗 (n! ± 1)
素数階乗 (pn# ± 1)
ユークリッド (pn# + 1)
ピタゴラス (4n + 1)
ピアポント (2u・3v + 1)
Quartan（英語版） (x4 + y4)
ソリナス（英語版） (2a ± 2b ± 1)
カレン (n・2n + 1)
ウッダル (n・2n − 1)
Cuban（英語版） ((x3 − y3)/(x − y))
キャロル ((2n − 1)2 − 2)
Kynea ((2n + 1)2 − 2)
レイランド (xy + yx)
サービト（英語版） (3・2n − 1)
ミルズ ([A]3n)
漸化式（英語版）
フィボナッチ
リュカ
ペル
ニューマン?シャンクス?ウィリアムズ
ペラン
分割
ベル
モツキン
各種の性質
ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）)