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ガンマ分布確率密度関数

累積分布関数

母数 k > 0 {\displaystyle k>0} 形状母数（英語版）
θ > 0 {\displaystyle \theta >0} 尺度母数（英語版）
または、 λ = 1 θ > 0 {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\theta }}>0} 比
台 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )}
確率密度関数 1 Γ ( k ) θ k x k − 1 e − x / θ = λ k Γ ( k ) x k − 1 e − λ x {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\theta }={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}}
累積分布関数 γ ( k , x / θ ) Γ ( k ) = γ ( k , λ x ) Γ ( k ) {\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}}
期待値 k θ = k λ {\displaystyle k\theta ={\frac {k}{\lambda }}}
中央値単純な閉形式を持たない
最頻値 ( k − 1 ) θ = k − 1 λ    for  k ≧ 1 {\displaystyle (k-1)\theta ={\frac {k-1}{\lambda }}\ {\text{ for }}k\geqq 1}
分散 k θ 2 = k λ 2 {\displaystyle k\theta ^{2}={\frac {k}{\lambda ^{2}}}}
歪度 2 k {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}
尖度 6 k {\displaystyle {\frac {6}{k}}}
エントロピー k + ln ⁡ θ + ln ⁡ Γ ( k ) + ( 1 − k ) ψ ( k ) {\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)}
= k − ln ⁡ λ + ln ⁡ Γ ( k ) + ( 1 − k ) ψ ( k ) {\displaystyle =k-\ln \lambda +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)}
モーメント母関数 1 ( 1 − θ t ) k = ( λ λ − t ) k {\displaystyle {\frac {1}{(1-\theta \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{k}}
 for  t < 1 θ = λ {\displaystyle {\text{ for }}t<{\frac {1}{\theta }}=\lambda }
特性関数 1 ( 1 − i θ t ) k = ( λ λ − i t ) k {\displaystyle {\frac {1}{(1-i\,\theta \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{k}}
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確率論および統計学において、ガンマ分布 (ガンマぶんぷ、英: gamma distribution) は連続確率分布の一種である。その性質は形状母数 k、尺度母数 θ の2つの母数で特徴づけられる。主に信頼性工学における電子部品の寿命分布や通信工学におけるトラフィックの待ち時間分布に応用される。また所得分布にも応用される。
定義と性質

ガンマ分布は、確率密度関数が形状母数（英語版） k > 0, 尺度母数（英語版） θ > 0 を用いて f ( x ) = 1 Γ ( k ) θ k x k − 1 e − x / θ         f o r   x > 0 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\theta }\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0}

で定義される分布である。ここで、Γ(k) はガンマ関数である。

等価な定義として、パラメータ λ = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/θ を用いて次のように表されることもある。 f ( x ) = λ k Γ ( k ) x k − 1 e − λ x         f o r   x > 0 {\displaystyle f(x)={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0}

このとき、ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。 F ( x ) = ∫ 0 x f ( u ) d u = γ ( k , x / θ ) Γ ( k ) = γ ( k , λ x ) Γ ( k ) {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(u)\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}}

ここで γ は不完全ガンマ関数である。
平均・分散

ガンマ分布の確率変数を X とするとき、平均 E(X) および分散 V(X) は次のように表される。 E ( X ) = k θ = k λ {\displaystyle E(X)=k\theta ={\frac {k}{\lambda }}} V ( X ) = k θ 2 = k λ 2 {\displaystyle V(X)=k\theta ^{2}={\frac {k}{\lambda ^{2}}}}