ガンマ関数（ガンマかんすう、英: gamma function）とは、数学において階乗の概念を複素数全体に拡張した（複素階乗ともいう）特殊関数である。一般的に、ガンマ関数は複素数 z {\displaystyle z} に対して、関数 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} で表される。

また、自然数 n {\displaystyle n} に対しては、ガンマ関数と n {\displaystyle n} の階乗との間では次の関係式が成り立つ： n ! = Γ ( n + 1 ) ,   Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! . {\displaystyle n!=\Gamma (n+1),\ \Gamma (n)=(n-1)!.}

互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者レオンハルト・オイラーによって無限乗積の形で、最初に導入された[1]。
定義

実部が正となる複素数 z {\displaystyle z} に対して、次の広域積分で定義される複素関数： Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t ( ℜ z > 0 , ) {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t\qquad (\Re {z}>0,)}

をガンマ関数と呼ぶ[2]。この積分表示は、アドリアン＝マリ・ルジャンドルの定義にしたがって、第二種オイラー積分とも呼ばれる。元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、 Γ {\displaystyle \Gamma } という記号は、1814年にルジャンドルが導入したものである[1]。それ以前にガウスは Π {\displaystyle \Pi } などと表記していた（ただし、 Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)} である）。

一般の複素数 z {\displaystyle z} に対しては、解析接続もしくは次の極限で定義される。 Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) . {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod \limits _{k=0}^{n}{(z+k)}}}.}
基本的性質

0 {\displaystyle 0} または負の整数でない、かつ実部が正の任意の複素数 z {\displaystyle z} に対して、 Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t = [ − e − t t z ] 0 ∞ + z ∫ 0 ∞ e − t t z − 1 d t = z Γ ( z ) ( ∵ [ − e − t t z ] 0 ∞ = 0 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t\\&={\Bigl [}-e^{-t}t^{z}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,{\rm {d}}t\\&=z\Gamma (z)\qquad \left(\because {\Bigl [}-e^{-t}t^{z}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=0\right)\!,\end{aligned}}}