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出典検索?: "カッシーニの卵形線"
カッシーニの卵形線(カッシーニのらんけいせん、英語: Cassinian oval)は、直交座標の方程式 ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 b 2 ( x 2 − y 2 ) − ( a 4 − b 4 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2b^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-b^{4})=0} によって表される四次曲線である。 x軸、y軸に対して線対称である。 2つの定点(-b,0),(b,0)に対して、動点P(x,y)を考える。2つの定点からPへのそれぞれ距離の積が a 2 {\displaystyle a^{2}} であるようなPの軌跡がカッシーニの卵形線になる。 すなわち ( x + b ) 2 + y 2 ( x − b ) 2 + y 2 = a 2 {\displaystyle {\sqrt {(x+b)^{2}+y^{2}}}{\sqrt {(x-b)^{2}+y^{2}}}=a^{2}} となり、この式の両辺を2乗してから変形すると、冒頭の定義式が得られる。
性質
a < bのとき2つのまるいループに分かれる。
( a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) , ( − − a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),({\sqrt {-a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {-a^{2}+b^{2}}},0)} の4点でx軸と交わる。
a = bのときレムニスケートとなる。
( a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) , ( 0 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(0,0)} の3点でx軸と交わる。
a > bのとき1つのループからなる。
( a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} の2点でx軸と交わる。
軌跡
外部リンク
⇒Cassini Ovals -- from Wolfram MathWorld