カイ二乗分布確率密度関数
累積分布関数
母数 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} }
台[0, ∞)
確率密度関数 x k / 2 − 1 e − x / 2 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) {\displaystyle {\frac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{\,2^{k/2}\Gamma (k/2)}}}
累積分布関数 γ ( k / 2 , x / 2 ) Γ ( k / 2 ) {\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}
期待値k
中央値 ≃ k − 2 3 + 4 27 k − 8 729 k 2 {\displaystyle \simeq k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}}
最頻値0 for k < 2
k − 2 for k ? 2
分散2k
歪度 2 2 k {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {k}}}}
尖度.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}12/k
エントロピーk/2 + ln 2 + ln Γ(k/2)
+ (1 − k/2)ψ(k/2)
モーメント母関数 1 ( 1 − 2 t ) k / 2 for t < 1 / 2 {\displaystyle {\frac {1}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}t<1/2}
特性関数 1 ( 1 − 2 i t ) k / 2 {\displaystyle {\frac {1}{(1-2it)^{k/2}}}}
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カイ二乗分布（カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、またはχ2分布は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。ヘルメルトにより発見され[1]、ピアソンにより命名された[2]。
独立に標準正規分布に従う k 個の確率変数 X1, …, Xk をとる。このとき、統計量 Z = ∑ i = 1 k X i 2 {\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{k}{X_{i}}^{2}}
の従う分布のことを自由度 k のカイ二乗分布と呼ぶ。
普通はこれを Z ∼ χ k 2 {\displaystyle Z\sim \chi _{k}^{2}}
と書く。カイ二乗分布は k という1個の母数をもつ。これは Xi の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。
カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、フリードマン検定
（英語版）などにも利用される。
