理論物理学において、オイラー＝ハイゼンベルク・ラグランジアン（英: Euler?Heisenberg Lagrangian）とは、1936年にヴェルナー・ハイゼンベルクとハンス・ハインリッヒ・オイラーによって導入された[1][2]ラグランジアンであり、場の量子論的なアプローチから電磁場（光子）に関する物理現象を記述するための理論形式の一つである。

標準理論の枠組において、電磁場や荷電粒子の間に働く電磁相互作用は量子電磁力学（QED）を用いて記述されるが、オイラー＝ハイゼンベルク・ラグランジアンは電子の質量と比べて十分小さい低エネルギー領域のQED現象を近似的に再現する有効場の理論である。
解説
ラグランジアン

ハイゼンベルクとオイラーによって1936年に発表された論文[1]においては以下のラグランジアンが導入された。 L = − F − 1 8 π 2 ∫ 0 ∞ d s s 3 exp ⁡ ( − m e 2 s ) [ ( e s ) 2 Re ⁡ cosh ⁡ ( e s 2 ( F + i G ) ) Im ⁡ cosh ⁡ ( e s 2 ( F + i G ) ) G − 2 3 ( e s ) 2 F − 1 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{s^{3}}}\exp \left(-m_{e}^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right]}

ここで、meは電子の質量、eは素電荷である。さらに、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} と G {\displaystyle {\mathcal {G}}} は、電場 E {\displaystyle \mathbf {E} } と磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} } を用いて、 F ≡ 1 2 ( B 2 − E 2 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\equiv {\frac {1}{2}}\left(\mathbf {B} ^{2}-\mathbf {E} ^{2}\right)} G ≡ E ⋅ B {\displaystyle {\mathcal {G}}\equiv \mathbf {E} \cdot \mathbf {B} }

と定義される。

電磁場が十分弱いときの極限において、上式は以下のように書き直せる。 L = 1 2 ( E 2 − B 2 ) + 2 α 2 45 m e 4 [ ( E 2 − B 2 ) 2 + 7 ( E ⋅ B ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m_{e}^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right]}

第1項は電磁場（光子）の運動項であり、電磁場について2次の式となる。第2項は電磁場同士の相互作用を表し、電磁場について4次の式である。上式にさらに補正を加えて、6次以上の項を書くこともできる。式中のα＝e2/(4π)は微細構造定数であり、α2は光子の4点相互作用が存在することを意味する。

低エネルギー極限のラグランジアンはオイラーとKockelによって最初に導入された[3]が、これがオイラー＝ハイゼンベルク・ラグランジアンと呼ばれることもある。
QEDとの関係

電磁相互作用を記述する量子電磁力学（QED）において、自由度は電子のような荷電粒子と相互作用の担い手である光子である。 L Q E D = ψ ¯ ( i γ μ D μ − m e ) ψ − 1 4 F μ ν F μ ν = ψ ¯ ( i γ μ ( ∂ μ + i e A μ ) − m e ) ψ − 1 4 F μ ν F μ ν {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }&={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m_{e})\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }+ieA_{\mu })-m_{e}\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\end{aligned}}}