エルランゲン・プログラム（独: Erlanger Programm、英: Erlangen program）とは、1872年フェリックス・クラインが23歳でエルランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である。日本語ではエルランゲン(の)目録と表記される場合もある[1]。 古代ギリシアにおいて「幾何学」といえばユークリッド幾何学の事であったが、数学の発展に伴い、様々な幾何学が登場した。その契機の一つは非ユークリッド幾何学の発見であり、双曲幾何学および楕円幾何学というユークリッド幾何学の平行線公理を満たさない新しい幾何学が提唱された。 この他にも遠近法の数学的な基盤として登場した射影幾何をはじめとして、アフィン幾何学（英: Affine geometry）、メビウス幾何学
概説
クラインのエルランゲン・プログラムは、ソフス・リーのTheorie der Transformationsgruppen（変換群の理論、今日で言うリー群の理論）に基づいて[3]、こうした複数の幾何学を統一的な視点で扱うための.mw-parser-output ruby.large{font-size:250%}.mw-parser-output ruby.large>rt,.mw-parser-output ruby.large>rtc{font-size:.3em}.mw-parser-output ruby>rt,.mw-parser-output ruby>rtc{font-feature-settings:"ruby"1}.mw-parser-output ruby.yomigana>rt{font-feature-settings:"ruby"0}綱領（プログラム）を提示する。今日の言葉で言えば、これは幾何学を等質空間とみなす、というものである[2]。（なお古くは等質空間の事をクライン空間（英: Klein space）と呼んだ[4]）。
すなわち、クラインの意味での幾何学とはリー群Gと、Gが推移的に作用する多様体Xとの組 ( G , X ) {\displaystyle (G,X)} の事である[2]。クラインはGの事をhauptgruppe[5][注 1]（chief group[5]）と呼び、ハスケルはこれをprincipal groupと訳した[2]。X上に一点xを取り、xの固定部分群を H x = { h ∈ G ∣ h x = x } {\displaystyle H_{x}=\{h\in G\mid hx=x\}} とすると、 H g x = g − 1 H g {\displaystyle H_{gx}=g^{-1}Hg} とxによらずHxは同型であり、Xは [ g ] ∈ G / H → g x ∈ X {\displaystyle [g]\in G/H\to gx\in X}
により自然に G / H x {\displaystyle G/H_{x}} と同型である。このため ( G , X ) {\displaystyle (G,X)} のかわりにリー群Gとその閉部分リー群Hxの組[注 2] ( G , H x ) {\displaystyle (G,H_{x})} の事をクラインの意味での幾何学と呼んでも良い[2][6]。
具体例は以下の通りである：
幾何学XGH
ユークリッド幾何学 E n = R n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}} E n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} 上の等長変換群
I s o m ( E n ) = { f A , b ∣ A ∈ O ( n ) , b ∈ R n } {\displaystyle \mathrm {Isom} (\mathbb {E} ^{n})=\{f_{A,b}\mid A\in O(n),b\in \mathbb {R} ^{n}\}}
ここで O ( n ) {\displaystyle O(n)} は直交群であり、 f A , b ( x ) = A x + b {\displaystyle f_{A,b}(x)=Ax+b} O ( n ) {\displaystyle O(n)}
楕円幾何学 P n = R n + 1 / ∼ {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {R} ^{n+1}/\sim } ここで x ∼ y ⟺ ∃ k ∈ R : x = k y {\displaystyle x\sim y\iff \exists k\in \mathbb {R} ~:~x=ky} P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} 上の等長変換群