エルミート多項式（-たこうしき、英: Hermite polynomial）は、常微分方程式 ( d 2 d x 2 − 2 x d d x + 2 n ) H n ( x ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-2x{\frac {d}{dx}}+2n\right)H_{n}(x)=0}

を満たす多項式 H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} のことを言う[1][2]。またこの微分方程式はスツルム＝リウヴィル型微分方程式の一つである。

エルミート多項式は重み関数（英語版）を e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} として、次の直交性を持つ[3]。 ∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) e − x 2 d x = π 2 n n ! δ m , n {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{m,n}}

ここで δ m , n {\displaystyle \delta _{m,n}} はクロネッカーのデルタである（ m = n {\displaystyle m=n} のとき1, それ以外では0）。

ロドリゲスの公式で表すと[4]、 H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}

これにより、エルミート多項式は以下の漸化式を満たすことがわかる。 H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) d d x H n ( x ) = 2 n H n − 1 ( x ) d d x H n ( x ) = 2 x H n ( x ) − H n + 1 ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)\\{\frac {d}{dx}}H_{n}(x)&=2nH_{n-1}(x)\\{\frac {d}{dx}}H_{n}(x)&=2xH_{n}(x)-H_{n+1}(x)\end{aligned}}}

母関数は S ( x , y ) = exp ⁡ ( − y 2 + 2 x y ) = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) y n n ! {\displaystyle S(x,y)=\exp(-y^{2}+2xy)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {y^{n}}{n!}}}

である[5]。周回積分で表すと[6] H n ( x ) = ∮ C d z   exp ⁡ ( − z 2 + 2 x z ) z n + 1 {\displaystyle H_{n}(x)=\oint _{C}dz~{\frac {\exp(-z^{2}+2xz)}{z^{n+1}}}}

ここで C {\displaystyle C} は原点を囲む反時計回りの経路である。

陽に表せば[7] H n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! ( 2 x ) n − 2 m {\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}}