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エネルギー・運動量テンソル（エネルギー・うんどうりょうテンソル、英語: energy-momentum tensor、stress-energy tensor、stress-energy-momentum tensor）とは、質量密度、エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、応力を相対性理論に基づいた形式で記述した物理量である。
一般相対性理論において、アインシュタイン方程式の物質分布を示す項として登場し、重力を生じさせる源（source term）としての意味を持つ。
エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、記号は T μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }} で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、 T μ ν = 0 {\displaystyle T^{\mu \nu }=0} とすればよい。
エネルギー・運動量テンソル T μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }} は、定義から明らかに対称テンソルである。
以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号は ( − , + , + , + ) {\displaystyle (-,+,+,+)\,} とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。
共変微分をもちいて T μ ν ; μ = 0 {\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0\,}
とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。 エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の並進対称性のネーター・カレントとして定められる。 作用積分が S [ ϕ ] = ∫ d 4 x L ( ϕ , ∂ ϕ ) {\displaystyle S[\phi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi )} と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。 従って、場は δ ξ ϕ ( x ) = ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) = ϕ ( x − ξ ) − ϕ ( x ) = − ξ μ ∂ μ ϕ ( x ) {\displaystyle \delta _{\xi }\phi (x)=\phi '(x)-\phi (x)=\phi (x-\xi )-\phi (x)=-\xi ^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x)} と変換される。 エネルギー・運動量テンソルは となる。この定義には任意性があり、 h μ ν ρ = − h μ ρ ν {\displaystyle h_{\mu }{}^{\nu \rho }=-h_{\mu }{}^{\rho \nu }} により T μ ν → T μ ν + ∂ ρ h μ ν ρ {\displaystyle T_{\mu }^{\nu }\to T_{\mu }^{\nu }+\partial _{\rho }h_{\mu }{}^{\nu \rho }} で置き換えることができる。この任意性によりエネルギー・運動量テンソルは対称テンソルとして定義される。 別の定義の仕方として、時空の計量による汎関数微分として定義する方法がある。この方法では対称であることが定義により明確となる。一般相対性理論においては時空の計量 g が力学変数となる。作用汎関数が S [ g , ϕ ] = 1 c ∫ L ( g , ϕ , ∂ ϕ ) − g d 4 x {\displaystyle S[g,\phi ]={\frac {1}{c}}\int {\mathcal {L}}(g,\phi ,\partial \phi ){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}
定義
T μ ν := ∂ L ∂ ( ∂ ν ϕ ) ∂ μ ϕ − δ μ ν L {\displaystyle T_{\mu }^{\nu }:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}}