位相空間の分離公理
コルモゴロフ による分類
T0 (コルモゴロフ空間)
T1 (フレシェ空間)
T2 (ハウスドルフ空間)
T2½
数学の一分野である位相幾何学において、ウリゾーン空間またはT2?空間とは空間内の任意の異なる二点が閉近傍で分離可能な位相空間のことである。完全ハウスドルフ空間または写像的にハウスドルフ空間とは、空間内の任意の異なる二点がそ連続写像で分離可能な位相空間のことである。これらの定義はハウスドルフ空間T2の定義より強い分離公理である。 以下、X を位相空間、x,yをX上の点とする。 ウリゾーン空間またはT2?空間とは空間内の任意の異なる二点が閉近傍で分離可能な位相空間のことである。 完全ハウスドルフ空間または写像的にハウスドルフ空間とは、空間内の任意の異なる二点がそ連続写像で分離可能な位相空間のことである。 分離公理の研究は使用されている命名規則との衝突で悪名高い。この記事の定義はWillard (1970)によって定義されたもので、より現代的な定義である。Steen, Seebach (1970)などウリゾーン空間と完全ハウスドルフ空間を逆に定義するものもいる。 この問題については分離公理の歴史 写像で分離可能な二点は閉近傍でも分離可能である。もし二点が閉近傍で分離可能なら明らかに近傍でも分離可能である。すなわち完全ハウスドルフ空間はウリゾーンであり、ウリゾーン空間はハウスドルフ空間である。 また、正則ハウスドルフ空間
定義
xとyが閉近傍で分離可能とはxの閉近傍Uとyの閉近傍Vが存在してUとVが交わらない(U ∩ V = ?)こと。 (ただし"xの閉近傍"はxを含む開集合を包含する閉集合を意味する。)
xとyが写像で分離可能とはf(x) = 0かつf(y) = 1を満たす連続写像 f : X → [0,1] (単位区間)が存在すること。.
命名規則
他の分離公理との関係
チホノフ空間 (T3?) ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 正則ハウスドルフ空間 (T3)
⇓ {\displaystyle \Downarrow } ⇓ {\displaystyle \Downarrow }
完全ハウスドルフ空間 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } ウリゾーン空間
(T2?) ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } ハウスドルフ空間 (T2) ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } T1
矢印の向きを逆にした際の反例は容易に見つけることができる。[1] 補可算拡張位相
例
ハウスドルフだがウリゾーンではない空間やウリゾーンだが完全ハウスドルフまたは正則ハウスドルフではない空間も存在する。それらの例は自明ではないがSteen, Seebachによって与えられている。
脚注^ Hausdorff space not completely Hausdorff - PlanetMath.org(英語)
参考文献
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446