ウォルステンホルム素数

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数論におけるウォルステンホルム素数（ウォルステンホルムそすう、英: Wolstenholme prime）とは、強い形のウォルステンホルムの定理（英語版）を満たすような特別な形をした素数のことである。例えばウォルステンホルムの定理から5以上の素数 p において p−1 までの逆数の和を表す分数の分子は p2 を因数にもつことは知られている。この分数の分子が p3 の因数をもつ素数の事である。名称は19世紀にこの定理を初めて記述した数学者ジョセフ・ウォルステンホルム（英語版）にちなむ。

ウォルステンホルム素数への最初の興味が湧き上がったのは、また別の数学的重要性を持つフェルマーの最終定理との関連によってであった。ウォルステンホルム素数は、この定理を一般的に証明すべく研究された、他の特別な数の集合とも関係している。

既知のウォルステンホルム素数は、16843 と 2124679 のみである（オンライン整数列大辞典の数列 A088164）。109 以下にはこれ以外にウォルステンホルム素数は存在しない [1]。
定義

ウォルステンホルム素数にはいくつかの同値な定義がある。
二項係数による定義

素数 p > 7 は、次の合同関係を満たすときウォルステンホルム素数という [2]。 ( 2 p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 4 ) {\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}}

ここで左辺は二項係数。

一方ウォルステンホルムの定理によれば、p > 3 なる全ての素数に対し次が成り立つ。 ( 2 p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 3 ) {\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}
ベルヌーイ数による定義

素数 p は、ベルヌーイ数 Bp?3 の分子を割り切るときウォルステンホルム素数という [3][4][5]。よってウォルステンホルム素数は非正則素数の部分集合である。
非正則素数による定義詳細は「正則素数」を参照

素数 p は、(p, p?3) が非正則素数の対になるときウォルステンホルム素数という [6][7]。
調和数による定義

素数 p は、調和数 H p − 1 {\displaystyle H_{p-1}} を既約分数で表したときの分子が p3 で割り切れるときウォルステンホルム素数という [8]。
研究とその現状

ウォルステンホルム素数の研究は1960年代に始まってから数十年にわたり続いている。最新の結果は2007年に発表された。最小のウォルステンホルム素数 16843 は1964年に発見されたが、当初は明示的に報告されていなかった [9]。1964年の発見は後に1970年代の独立した発見により追認された。ほぼ20年間、これが唯一の既知のウォルステンホルム素数だったが、1993年に2番目のウォルステンホルム素数 2124679 の発見が公表された [10]。1.2×107 までの範囲でこれら以外のウォルステンホルム素数は見つからず [11]、後にこの範囲は 2×108 まで拡げられ（McIntosh, 1995年）[4]、さらに 2.5×108 まで拡げられた（Trevisan & Weber, 2001年）[12]。 2007年時点での最新の結果では 109 までの範囲でのウォルステンホルム素数はただ2つである [13]。
ウォルステンホルム素数の個数の予想

ウォルステンホルム素数は無限個存在すると予想されている。また素数定理から x 以下のウォルステンホルム素数の個数は約 ln ln x 個（ ln は自然対数）だと予想されている。素数 p ? 5 に対しウォルステンホルム商は W p = ( 2 p − 1 p − 1 ) − 1 p 3 {\displaystyle W_{p}{=}{\frac {{2p-1 \choose p-1}-1}{p^{3}}}}

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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