ウィーンの変位則(ウィーンのへんいそく、英: Wien's displacement law)とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。
ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見された。
なお、ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則と呼ばれることも多い。 ここで T は黒体の温度(K)、λmax はピーク波長(m)、b は比例定数であり、 その値は b = {\displaystyle b=} 2.897771955...×10?3 m⋅K である[1]。 物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる(色温度も参照)。 ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。 プランクの式によると、黒体輻射の分光エネルギー密度 u は次式で表される: u ( λ , T ) = 8 π h c λ 5 1 e h c / λ k T − 1 {\displaystyle u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}} 波長の最大値 λmax を求めるために、波長分布 u(λ) を λ で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。 ∂ u ( λ m a x , T ) ∂ λ = 8 π h c ( h c k T λ max 7 exp ( h c / λ max k T ) ( exp ( h c / λ max k T ) − 1 ) 2 − 1 λ m a x 6 5 exp ( h c / λ max k T ) − 1 ) = 0 ∴ h c λ m a x k T 1 1 − exp ( − h c / λ max k T ) − 5 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u(\lambda _{\mathrm {max} },T)}{\partial \lambda }}=8\pi hc\left({\frac {hc}{kT\lambda _{\text{max}}^{7}}}{\frac {\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)}{\left(\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {max} }^{6}}}{\frac {5}{\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1}}\right)=0\\\therefore {\frac {hc}{\lambda _{\mathrm {max} }kT}}\,{\frac {1}{1-\exp(-hc/\lambda _{\text{max}}kT)}}-5=0\end{aligned}}} ここで x = hc/λmaxkT とすると、 x 1 − e − x − 5 = 0 {\displaystyle {\frac {x}{1-e^{-x}}}-5=0} となる。この解はランベルトのW関数で、 x = W ( − 5 e − 5 ) + 5 ≈ 4.965114231744276 {\displaystyle x=W(-5e^{-5})+5\approx 4.965114231744276} と表される。x から λmax を求めると、 λ max = h c x k T = b T , b = h c x k ≈ 2.897 772 × 10 − 3 m K {\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{xkT}}={\frac {b}{T}},\quad b={\frac {hc}{xk}}\approx 2.897~772\times 10^{-3}~{\text{m K}}} を得る。 振動数で表示されたプランクの公式 R ( ν ) = 8 π h c 3 ν 3 e h ν / k T − 1 {\displaystyle R(\nu )={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {\nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}} を用いても、同様の導出が可能である。この場合、x = hνmax/kT は ( 3 − x ) e x = 3 {\displaystyle \left(3-x\right)e^{x}=3} の解で、 x = W ( − 3 e − 3 ) + 3 ≈ 2.8214 {\displaystyle x=W(-3e^{-3})+3\approx 2.8214} となる。したがってピークにおける振動数は ν m a x = x k h T , x k h = 5.878 925 757 ... × 10 10 Hz / K {\displaystyle \nu _{\mathrm {max} }={\frac {xk}{h}}T,\quad {\frac {xk}{h}}=5.878~925~757{\text{...}}\times 10^{10}~{\text{Hz}}/{\text{K}}} となる。 λ m a x ν m a x = c {\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }\nu _{\mathrm {max} }=c} ではないことに注意が必要である。
関係式 λ max = b T {\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}}
例
導出
別の導出
脚注[脚注の使い方]
出典
^ “CODATA 2018, Wien wavelength displacement law constant
関連項目
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
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