イロレーティング - 暇つぶしWikipedia

イロレーティング

イロレーティング (Elo rating) とは、対戦型の競技（2人のプレイヤーまたは2つのチームが対戦して勝敗を決めるタイプの競技）において、相対評価で実力を表すために使われる指標の一つ。数学的裏付けのある最も著名なレーティングシステムである。

イロレーティングは、もともとチェスの実力を表すために考案されたものだが、様々な競技に応用されている。具体的には

国際チェス連盟の公式記録

日本アマチュア将棋連盟の公式記録

将棋や囲碁などのオンライン対局場

サッカーのFIFAランキング

 ラグビーなどの一部の競技団体のランキング

対戦型オンラインゲームのランキングやマッチング

などでイロレーティング、あるいはイロレーティングを改変したレーティングシステムが採用されている。一部の競技では単にレーティングと呼ぶこともある。

なお、「イロ」とは、考案者であるアルパド・イロ（ハンガリー生まれのアメリカ人物理学者）に由来する。
概要

例えば100m走のような絶対値を競う競技では、その絶対値（例えば100m走のタイム）が試合の結果となるので、これをそのまま実力の基準として使うことができる（自己ベストタイムなど）。しかし、チェスやサッカーのような対戦型の競技では、試合の結果は勝敗であるから、そのままでは実力を表すことができない。そこで、勝敗を実力の指標に変換する工夫が必要となる。

古典的指標としては、勝率（勝敗比に変換することもできる）がある。しかし、勝率には「対戦相手の強さを考慮していない」という欠点があった。すなわち、トッププレイヤーばかりを相手にして勝率5割の場合と、初心者ばかりを相手にして勝率5割の場合とでは、言うまでもなく前者のほうが実力が上であるが、勝率ではこのような事情が反映されない。対戦相手が均等になる総当たり戦の競技では、この欠点が問題となることはないが、チェスなどでは、実力があるプレイヤーほど強い相手との対戦が増えることから、勝率では強さを表すことができないという事態に陥った。

この問題を解消する手段が、イロレーティングである。イロレーティングは、平均的強さのプレイヤーと対戦したときに予想される勝利勝率を数学的に推計し、対数に変換した指標である。実際には、試合のたびに対戦前の相互のレーティングに基づいて勝利確率（期待勝率）を計算し、これと実際の対戦結果との差異に基づいてレーティングを更新する。この作業を試合のたびに繰り返すことで、いずれ平均的強さのプレイヤーと対戦したときの真の勝利確率、すなわち強さを表す適正な値にレーティングが収束するというわけである。

なお、勝率などでも同様であるが、イロレーティングは勝敗を計算の対象としているため、引き分けは勝敗に変換しなければ計算の対象にできない。引き分けの扱いは競技団体によって異なるが、

引き分けは0.5勝0.5敗として計算する。

引き分けは再試合を行うものとして再試合の結果によって計算する。

引き分けの試合はレーティング計算の対象外とする。

という3つの手法が知られている。後述する「勝敗比は積によって推移する」という関係性が満たされるように競技の性質に応じて引き分けの扱いを適切に定める必要がある。なお、イロレーティングの発祥であるチェスでは、引き分けを0.5勝0.5敗とする方法が採用されている。以下では、引き分けの場合について言及しない。
歴史
 イロレーティング以前

イロは物理学者であると同時にチェスにおいてはマスターレベルであり、アメリカ合衆国チェス連盟（USCF）でプレーしていた。当時USCFでは、ケネス・ハークネスが考案したレーティングシステムを採用していた。このシステムでは大会ごとに算出した平均レーティングに準じて個人のレーティングが決定される方法をとっており、例えば著名なトーナメントで優勝した場合、別のトーナメントで優勝した場合に比べて、5倍のポイントが与えられることがあった。
イロレーティングの特徴

イロレーティングは統計的な推定に基づいたシステムである。試合の勝敗を直接的に各プレーヤーの能力を表す基礎的な変数に関連付けるモデルを使用する。

イロの理論では二つの前提をおいている。

試合の勝敗は、プレイヤーの評価値の大小によって決まる - あるプレイヤーがゲームに勝てば、そのゲームでは相手より評価値が高かったとみなす。負けた場合は相手より評価値が低い、引き分けの場合は評価値は同等だったとする。

各ゲームにおけるプレイヤーの評価値は、正規分布の確率変数である - あるプレイヤーの評価値は対局のたびに好調不調で変動はするものの、評価値の平均値は時間の経過とともにゆっくりとしか変化しないと考えた。

プレイヤー毎の標準偏差（レーティング偏差）のばらつきを考慮しない単純化したモデルとしている。
イロレーティングの活用と発展

またイロは各選手の真の実力（＝モデルの変数）を推定する簡単な方法を提案している。対戦相手のレーティングとの比較から、予想される勝率を表から比較的簡単に算出することができる。勝利数が多い選手のレーティングは上方修正され、少ない選手のレーティングは下方修正される。その調整は、予想勝率を上回った勝利数と下回った勝利数に直線的に比例することになっていた。

イロレーティングは計算のシンプルさから計算機のない時代は特に有用であった。電卓ひとつで計算できたため、公式発表の前にレーティングを1ポイント以内で計算することができた。これはレーティングの公正性が一般に受け入れられる一助となった。一方でイロレーティングの欠点である、インフレやデフレにより過去のレーティングと比較できないといった問題に対応して発展させたグリコレーティングがマーク・グリックマンにより提案された。また、FIDEではこうした問題への対処として、より正確なレーティングシステムをKaggleでのコンペにより募集している [1]。
レーティングの定義

あるプレイヤーのイロレーティング R {\displaystyle R} は、そのプレイヤーが平均的プレイヤーと対戦した場合に予想される勝利確率と敗北確率をそれぞれ W , L {\displaystyle W,L} 、平均的なプレイヤーのレーティングを R 0 {\displaystyle R_{0}} として、 R = 400 log 10 ⁡ W L + R 0 {\displaystyle R=400\log _{10}{\frac {W}{L}}+R_{0}}

で表わされる。式変形して勝敗比の側から見れば、 W L = 10 ( R − R 0 ) / 400 {\displaystyle {\frac {W}{L}}=10^{(R-R_{0})/400}}

である。 R 0 {\displaystyle R_{0}} の値としては、イロは完全に任意としつつも便宜上2000を用いたが、慣習的に1500が用いられることが多い。

ここで、400や R 0 {\displaystyle R_{0}} といった定数は、単に数値を見やすくするために調整しているに過ぎず、イロレーティングの本質は、勝敗比を対数に変換したものということである。

以下、プレイヤー A {\displaystyle A} がプレイヤー B {\displaystyle B} に勝利する確率（＝プレイヤー B {\displaystyle B} がプレイヤー A {\displaystyle A} に敗北する確率）を W A B {\displaystyle W_{AB}} 、プレイヤー A {\displaystyle A} のイロレーティングを R A {\displaystyle R_{A}} などと表記することとする。
レーティングから算出される勝利確率

ここで、勝敗比は積によって推移するという重要な仮定を置く。すなわち、3人のプレイヤー X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} について、イロレーティングでは、 W X Z W Z X = W X Y W Y X × W Y Z W Z Y {\displaystyle {\frac {W_{XZ}}{W_{ZX}}}={\frac {W_{XY}}{W_{YX}}}\times {\frac {W_{YZ}}{W_{ZY}}}}

という関係が満たされることを前提とする。例えば X {\displaystyle X} が Y {\displaystyle Y} に対して平均して2勝1敗のペース（勝率約67%）、 Y {\displaystyle Y} が Z {\displaystyle Z} に対して平均して3勝1敗のペース（勝率75%）だとすれば、 2 × 3 = 6 {\displaystyle 2\times 3=6} なので、 X {\displaystyle X} は Z {\displaystyle Z} に対して平均して6勝1敗のペース（勝率約86%）となることが必要である。このような関係が満たされない競技では、イロレーティングで適切に実力を評価することができない（格上ばかりと対戦するプレイヤーと格下ばかりと対戦するプレイヤーを比べると、同じ強さでもレーティングが異なった値になってしまう）。