このページ名「イギリス国旗の定理」は暫定的なものです。（2024年5月）
赤い正方形の面積の和と青い正方形の面積の和は等しい。ユークリッド空間において、茶色の四角形が長方形であるとき、赤い正方形の面積の和と青い正方形の面積の和は等しい。

ユークリッド幾何学において、イギリス国旗の定理 (イギリスこっきのていり、英:British flag theorem)または英国旗の定理とは長方形ABCDと任意の点Pについて以下の等式が成り立つという定理である[1][2][3]。 A P 2 + C P 2 = B P 2 + D P 2 . {\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.} イギリス国旗の定理はピタゴラスの定理の一般化と言うこともできる。Pを長方形のいずれかの点に重ねることによって、長方形の対角線の2乗が長方形の縦と横の2乗の和に等しくなり、これはピタゴラスの定理となる。
証明証明に用いる図

Pを通る長方形ABCDの辺AB, BC, CD, ADに対する垂線の足を それぞれW, X, Y ,Zとする。ここで四角形WXYZは直交対角線四角形である。したがってWP = AZであることに注意し、ピタゴラスの定理を用いると A P 2 = A W 2 + W P 2 = A W 2 + A Z 2 {\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}

が成り立つ。同様にして以下が成立する。 P C 2 = W B 2 + Z D 2 , {\displaystyle PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},} B P 2 = W B 2 + A Z 2 , {\displaystyle BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},} P D 2 = Z D 2 + A W 2 . {\displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.}

したがって A P 2 + P C 2 = ( A W 2 + A Z 2 ) + ( W B 2 + Z D 2 ) = ( W B 2 + A Z 2 ) + ( Z D 2 + A W 2 ) = B P 2 + P D 2 {\displaystyle {\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}}
一般化
等脚台形

イギリス国旗の定理は等脚台形に一般化することができる。 A B {\displaystyle AB} , C D {\displaystyle CD} が平行である等脚台形 A B C D {\displaystyle ABCD} と任意の点 P {\displaystyle P} について以下が成り立つ。 。 A P 。 2 + 。 A B 。 。 C D 。