イェッセンの二十面体
Jessen's icosahedron


面数

8（正三角形）

12（二等辺三角形）

辺数

24（短い凸辺）

6（長い凹辺）

頂点数12
特性

頂点に関して推移性を持つ

無限小剛性を持たない


展開図
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イェッセンの二十面体（英: Jessen's icosahedron。イェッセンの直交二十面体 Jessen's orthogonal icosahedron とも）とは、頂点・辺・面の数が正二十面体と等しい非凸な（英語版）多面体。1967年にこの立体を研究したボルゲ・イェッセン（英語版）にちなんで名づけられた[1]。1971年にはこの立体を含む非凸多面体の族がアドリアン・ドゥアディ（英語版）によって独立に発見され、six-beaked shaddock（→6つの嘴を持つブンタン）と名付けられた[2][3]。後年の研究者はそれを元にした名を特にイェッセンの二十面体を指して使っている[4]。

面どうしは全て直角に交わっているが、すべての面が直交座標面と平行になるような向きは持たない。無限小剛性を持たないことから shaky polyhedron（→ガタつく多面体）に分類される。各辺に沿って圧縮材と緊張材を配置すればよく知られたテンセグリティ構造となる[5]（6本棒テンセグリティ[6]、テンセグリティ二十面体、展開八面体などと呼ばれる[7]）。
幾何学的性質STL形式のモデル。 .mw-parser-output .tmulti .thumbinner{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .tmulti .trow{display:flex;flex-direction:row;clear:left;flex-wrap:wrap;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{margin:1px;float:left}.mw-parser-output .tmulti .theader{clear:both;font-weight:bold;text-align:center;align-self:center;background-color:transparent;width:100%}.mw-parser-output .tmulti .thumbcaption{background-color:transparent}.mw-parser-output .tmulti .text-align-left{text-align:left}.mw-parser-output .tmulti .text-align-right{text-align:right}.mw-parser-output .tmulti .text-align-center{text-align:center}@media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{width:100%!important;box-sizing:border-box;max-width:none!important;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow{justify-content:center}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{float:none!important;max-width:100%!important;box-sizing:border-box;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow>.thumbcaption{text-align:center}}半透明な面で表した図。各点間の距離。

イェッセンの二十面体は12個の頂点を持ち、それらの位置は (±2, ±1, 0) に巡回置換を行うことで得られる12組の座標を持つように選ぶことができる[1]。そのように座標を表すとき、短辺（凸角の辺）は長さ √6 、長辺（凹角の辺）は長さ 4 となる。面のうち8枚は短辺3つからなる合同な正三角形で、残りの12枚は長辺1つと短辺2つに囲まれた合同な鈍角二等辺三角形である[8]。

イェッセンの二十面体は任意の頂点を別の任意の頂点に移せるような対称性を持っている（頂点に関する推移性を持つ）[9]。二面角はすべて直角である。これを利用して、複数のイェッセンの二十面体を正三角形面で貼り合わせることで、すべての面が直交する多面体で組合せ的に相異なるものの無限族を構成することができる[1]。

イェッセンの二十面体は（より単純なシェーンハルトの多面体（英語版）と同じく）新しく頂点を付け加えなければ三角分割によって四面体を作ることはできない[10]。その一方、二面角が π の有理数倍であることからデーン不変量（英語版）はゼロとなる。したがってイェッセンの二十面体は立方体と分割合同の関係にある。すなわち、小さな多面体に切り分けてから立方体に組み替えることができる[1]。

イェッセンの二十面体は星状多面体である。すなわち、内部に取った1点（たとえば対称中心）からほかのすべての点を見渡すことができる。ミシェル・デマジュール（英語版）は、三角形の面を持つ星状多面体の中心点から発する半直線に沿って頂点を動かすことで凸多面体を作れるかという問いを立てたが、イェッセンの二十面体はそれへの反例になっている。デマジュールはそのような変形が可能ならばその星状多面体と関連付けられる代数多様体が射影多様体となることを証明し、それによってこの問題を代数幾何学と結び付けた。しかしアドリアン・ドゥアディが、イェッセンの二十面体を含むある立体族について、そのような頂点の移動から凸多面体を作れないことを証明した[2][3]。デマジュールはその結果を用いて非射影かつ滑らか、有理、完備（英語版）な三次元多様体を構築した[11]。