「アーベル群の圏」とは異なります。
.mw-parser-output .pathnavbox{clear:both;border:1px outset #eef;padding:0.3em 0.6em;margin:0 0 0.5em 0;background-color:#eef;font-size:90%}.mw-parser-output .pathnavbox ul{list-style:none none;margin-top:0;margin-bottom:0}.mw-parser-output .pathnavbox>ul{margin:0}.mw-parser-output .pathnavbox ul li{margin:0}数学 > ホモロジー代数・圏論 > アーベル圏

アーベル圏（アーベルけん、英: abelian category[注 1]）とは（コ）チェイン複体のホモロジー/コホモロジーと層のコホモロジーの双方を展開するのに十分な構造を備えた圏である。

アーベル圏となる圏の具体例としてはアーベル群の圏や環上の加群の圏、アーベル圏上の（コ）チェイン複体の圏、およびアーベル圏に値を取る前層や層の圏が挙げられる。

アーベル圏の著しい性質として加法圏になる事、すなわちアーベル圏の対象間の射のクラス H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} がアーベル群になる（事に加え、いくつかのよい性質を満たす）事が挙げられる。

アーベル圏が小さい圏であればアーベル圏は加群の圏に埋め込める（ミッチェルの埋め込み定理）。よって特に加群の圏で成立する事実、例えば5項補題や蛇の補題のようにホモロジー代数を展開する上で必須となる補題を満たす。

マックレーン[1]はグロタンディークが1958年の論文[2]でアーベル圏を定義したとするが、別の文献[3]によれば、アイレンベルグの弟子の[3][4]@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}デイビット・バックズバウム[訳語疑問点]が1955年の博士論文[5]で「exact category」の名称でこの概念を提案し、これを知ったグロタンディークが「アーベル圏」という名前でこの概念を広めた。
加法圏

上述のようにアーベル圏の著しい性質として加法圏になる事が挙げられるので、本節ではアーベル圏を導入する準備として、加法圏の定義とその性質を述べる。
定義

加法圏は以下のように定義される：

定義 ― 圏 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} が前加法圏（英: preadditive category、英: Ab-category）であるとは、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の任意の対象A、Bに対し、 H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} には2項演算子「 + {\displaystyle +} 」が定義されており、「 + {\displaystyle +} 」に関して H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} はアーベル群になり、さらに任意の射 f ,   f ′   :   A → B {\displaystyle f,~f'~:~A\to B} 、 g ,   g ′   :   B → C {\displaystyle g,~g'~:~B\to C} に対し、射の結合は下記の双線型性を満たす事を言う[6]： g ∘ ( f + f ′ ) = g ∘ f + g ∘ f ′ {\displaystyle g\circ (f+f')=g\circ f+g\circ f'} ( g + g ′ ) ∘ f = g ∘ f + g ′ ∘ f {\displaystyle (g+g')\circ f=g\circ f+g'\circ f}

定義 ― 前加法圏 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} が加法圏（英語版）（英: additive category）であるとは、以下を満たす事を言う[7][8][9][10][11][注 2]：
C {\displaystyle {\mathcal {C}}} は零対象を持つ

C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の任意の対象A、Bに対し、AとBの積が常に存在する。

特徴づけ

加法圏の1番目の条件は以下のようにも言い換えられる：

定理 ―  C {\displaystyle {\mathcal {C}}} を前加法圏とし、Zを C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の対象とするとき、以下の4条件は同値である[12]。

Zは始対象である。

Zは終対象である。

H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} のアーベル群としての単位元を 0 A B   :   A → B {\displaystyle 0_{AB}~:~A\to B} と表すと、 0 Z Z = i d Z {\displaystyle 0_{ZZ}=\mathrm {id} _{Z}}

H o m ( Z , Z ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (Z,Z)} は単位元のみからなる群である。

加法圏の２番目の条件は以下のようにも言い換えられる：

定理 ―  C {\displaystyle {\mathcal {C}}} を零対象Zが存在する前加法圏とするとき、以下は同値である[13]。

C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の任意の対象A、Bに対し、AとBの積が常に存在する。

C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の任意の対象A、Bに対し、AとBの余積が常に存在する。

C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の任意の対象A、Bに対し、AとBの複積（英語版）（後述）が常に存在する。

ここで複積とは以下のように定義される概念である：

定義 ― A、Bを前加法圏 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の対象とするとき、 A ⇆ p A ι A A ⊕ B ⇄ p B ι B B {\displaystyle A{\underset {\iota _{A}}{\overset {p_{A}}{\leftrightarrows }}}A\oplus B{\underset {\iota _{B}}{\overset {p_{B}}{\rightleftarrows }}}B}

がAとBの複積（英: biproduct）であるとは、以下を満たす事を言う[13]：

p A ∘ ι A = i d A {\displaystyle p_{A}\circ \iota _{A}=\mathrm {id} _{A}}

p B ∘ ι B = i d B {\displaystyle p_{B}\circ \iota _{B}=\mathrm {id} _{B}}

ι A ∘ p A + ι B ∘ p B = i d A ⊕ B {\displaystyle \iota _{A}\circ p_{A}+\iota _{B}\circ p_{B}=\mathrm {id} _{A\oplus B}}

実は次が成立する：

定理 ―  C {\displaystyle {\mathcal {C}}} を加法圏とし、A、Bを C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 対象とするとき、AとBの積、余積、複積は一致する[13]。
アーベル圏

本節ではまずアーベル圏の定義を述べ、次にアーベル圏が加法圏になる事を見る。そしてアーベル圏上のホモロジー代数について述べ、最後にアーベル圏が小さい圏であれば加群の圏に埋め込める事を見る。