アローの不可能性定理（アローのふかのうせいていり、英: Arrow's impossibility theorem）、アローの（一般）可能性定理、または単にアローの定理とは、社会的選択理論における不可能性定理（英語版）の一つである。この定理によれば、投票者に3つ以上の独立した選択肢が存在する場合、如何なる選好投票制度（社会的厚生関数[註 1]）であっても、個々人の選好順位を共同体全体の（完備かつ推移的な）順位に変換する際に、特定の評価基準（定義域の非限定性、非独裁性、パレート効率性、無関係な選択肢からの独立性）を同時に満たすことは出来ない。この定理はギバード＝サタースウェイトの定理を導くことで知られ、投票理論ではよく引用される。アローの定理という名称は経済学者でありノーベル経済学賞受賞者であるケネス・アローに因む。アローは博士論文でこの定理を示し、後に著書『社会的選択と個人的評価（英語版）』[1]で論じて普及を見た。

要約すると、この定理によれば次の5つの「公正さ」の基準を常に同時に満たすような選好順位選挙制度は設計できない。

人々の選好の順序は自由

全ての投票者が選択肢Xを選択肢Yよりも好むとき、集団全体もまたXをYよりも好む(満場一致)

独裁者が存在しない。つまり、如何なる個人であれ集団全体の意志を1人で決定することはできない

2つの選択肢に関する社会全体の選好順序は、第3の選択肢から影響をうけない

社会全体の決定は、堂々巡りの矛盾にならない(a>b , b>cなら必ずa>c)

なお、レーティング投票（英語版）は順位よりも多くの情報が関わるためこの定理では扱っていない[2][3]。但しギバードの定理（英語版）はアローの定理をその場合について拡張している。

アローが採った公理的手法は、考えうるあらゆる（選好をベースとした）ルールを統一された枠組みの中で扱うことが出来る。その意味で、個々のルール毎に調べるしかなかった過去の投票理論とは一線を画しており、社会的選択理論の現代的なパラダイム はこの定理から始まったと言える[4][5]。

この定理と現実世界の関係については議論がある。アロー自身は「大半の制度は常にうまくいかない訳ではない。私が証明したのは、全てがうまく行かないことが時にはあると言うことだ」と述べている[6]。
概要

アローは n {\displaystyle n} 人（ n {\displaystyle n} は有限）の個人から成る社会の構成員全員の選好関係 ⪰ i {\displaystyle \succeq _{i}} の列 (「選好プロファイル」) ( ⪰ 1 , … , ⪰ n ) {\displaystyle (\succeq _{1},\ldots ,\succeq _{n})} を独立変数とし、「社会的選好」と呼ばれる選好関係 ⪰ {\displaystyle \succeq } を従属変数とする関数を考え、それを「社会的厚生関数」(選好集計ルール) と呼んだ。ここで社会的選好 ⪰ {\displaystyle \succeq } は次の2つの公理を満たすことを仮定する (ただし x ⪰ y {\displaystyle x\succeq y} は選択肢 x {\displaystyle x} が y {\displaystyle y} 以上にランクされる (好ましい) ことを表す; ⪰ {\displaystyle \succeq } は数の不等号とは異なる;記号 ⪰ {\displaystyle \succeq } の代わりに「関係」(relation) を表す R の文字が使われることも多い):

完備性. 任意の2つの選択肢 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} に対し、 x ⪰ y {\displaystyle x\succeq y} もしくは y ⪰ x {\displaystyle y\succeq x} が成立する。すなわち x {\displaystyle x} が y {\displaystyle y} 以上に望ましいか、 y {\displaystyle y} が x {\displaystyle x} 以上に望ましいかのいずれかである。(このうち前者だけが成立するとき x ≻ y {\displaystyle x\succ y} と書き、 x {\displaystyle x} が y {\displaystyle y} よりも好ましいことを表す。後者だけが成立するとき ( y ≻ x {\displaystyle y\succ x} ) は、 y {\displaystyle y} が x {\displaystyle x} よりも好ましい。いずれも成立するときは x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} は無差別という。記号 ≻ {\displaystyle \succ } の代わりに「より好む」(prefer) を表す P の文字が使われることも多い。なお「反射性」すなわち任意の選択肢 x {\displaystyle x} に関して x ⪰ x {\displaystyle x\succeq x} が成立することは完備性から導かれる)

推移性. 任意の3つの選択肢 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , z {\displaystyle z} に対して、 x ⪰ y {\displaystyle x\succeq y} かつ y ⪰ z {\displaystyle y\succeq z} ならば x ⪰ z {\displaystyle x\succeq z} となる。すなわち x {\displaystyle x} が y {\displaystyle y} 以上に望ましく、 y {\displaystyle y} が z {\displaystyle z} 以上に望ましければ、 x {\displaystyle x} は z {\displaystyle z} 以上に望ましい。

選好関係がこれら2つの公理を満たすならば、選択肢が何個あろうともそれが有限個である限り、最も良い選択肢（1個とは限らない）を選ぶことができる。その意味でこのような選好関係は「合理性」を持つと言える。

そしてアローは、社会的厚生関数が下記の4条件 (これらもしばしば「公理」とよばれる) を満たすことが公正な選挙制度にとって不可欠であるとした。

非独裁性. 社会的選好関数は複数の投票者の意志を反映しなければならない。単に誰か1人の意志を模倣するだけに留まることはできない。


定義域の非限定性 (普遍性). 個人の選好を組み合わせた如何なる集合に対しても、社会的選好関数は社会的選択の一意で完備な順序付けを出力せねばならない。従って、社会的に完備な選好の順序付けを出力できねばならず、投票者の選好が同一である場合は、同一の結果を決定論的に出すことができなければならない。