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アレフ・ゼロ、最小の無限基数

数学を基礎付ける集合論において、アレフ数（アレフすう、英: aleph number）は無限集合の濃度（あるいは大きさ）を表現するために使われる順序数のクラスである。

名称はそれらを表記するのに使われる文字、ヘブライ文字の第一文字アレフ (?‏) に由来する[1]。

自然数全体の集合の濃度はアレフ・ノート ?0（aleph-naught; アレフ・ヌル (aleph-null) あるいはアレフ・ゼロ (aleph-zero) とも）であり、それより一段階大きい濃度がアレフ・ワン ?1, 次はアレフ・ツー ?2 と以下同様に続く。このように続けて、すべての順序数 α に対して以下に述べられるように一般のアレフ数となる濃度 ?α を定義することができる。

概念はゲオルク・カントールまでさかのぼる。彼は濃度の概念を定義し無限集合には異なる濃度があることに気付いた。

アレフ数は代数学や微積分でよく見る無限大 (∞) とは異なる。アレフ数は集合の大きさを測るものだが、一方無限大は一般に（関数や数列が「無限大に発散する」とか「限りなく増大する」という形で現れる）実数直線上の非有限極限、あるいは拡大実数直線の極点として定義される。
アレフ・ノート

?0 はすべての自然数からなる集合の濃度であり、無限基数である。すべての有限順序数からなる集合は、ω あるいは ω0 と呼ばれ、濃度 ?0 をもつ。集合の濃度が ?0 であることは、可算無限である—すなわち自然数全体の成す集合との間に全単射（一対一対応）がある—ことと同値である。そのような集合の例は

すべての平方数からなる集合，すべての立方数からなる集合，すべての四乗数からなる集合，……，

すべての累乗数からなる集合，すべての素数の冪からなる集合，

すべての偶数からなる集合，すべての奇数からなる集合，

すべての素数からなる集合，すべての合成数からなる集合，

すべての整数からなる集合，

すべての有理数からなる集合，

すべての代数的数からなる集合，

すべての計算可能数からなる集合，

すべての定義可能数（英語版）からなる集合，

すべての有限長の二進文字列からなる集合，

任意に与えられた可算無限集合のすべての有限部分集合からなる集合。

無限順序数 ω, ω + 1, ω⋅2, ω2, ωω および ε0（イプシロン数も参照）は可算無限集合からとれる[2]。例えば、すべての正の奇数のあとにすべての正の偶数を並べた（順序数 ω⋅2 をもつ）列{1, 3, 5, 7, 9, …, 2, 4, 6, 8, 10, …}

は正の整数全体の（濃度 ?0 の）集合の整列である。

可算選択公理を仮定すれば、?0 は他のどんな無限基数よりも小さい。
アレフ・ワン「最小の非可算順序数」も参照

?1 はすべての可算順序数からなる集合の濃度で、ω1 あるいは（ときに）Ω と呼ばれる。この ω1 はそれ自身順序数でありすべての可算順序数より大きく、したがって不可算集合である。それゆえ、?1 は ?0 とは異なる。?1 の定義は、（選択公理のない ZF、ツェルメロ・フレンケル集合論において） ?0 と ?1 の間に基数は存在しないことを意味している。選択公理 (AC) を使えば、さらに次のことが証明できる。基数のクラスは全順序でありしたがって ?1 は 2 番目に小さい無限基数である。AC を使って集合 ω1 の最も有用な性質の 1 つを証明できる。ω1 の任意の可算部分集合は ω1 において上界をもつ。（このことは AC の最もよくある応用の 1 つである可算集合の可算和は可算であるという事実から従う。この事実は ?0 における状況に類似である。すなわち、自然数からなるすべての有限集合は再び自然数である最大元を持ち、有限集合の有限和は有限である。

ω1 は多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである。例えば、部分集合の任意の集まりによって生成されるσ-代数を明示的に記述しようとすること（例えばボレル階層を見よ）。これは代数（ベクトル空間や群など）における「生成」のたいていの明示的な記述よりも難しい。なぜならばこれらのケースにおいて有限の操作 - 和、積、などに関して閉じているだけでよいからだ。各可算順序数に対して、超限帰納法を経由して、ありとあらゆる可算和と補集合を「投げ込んで」集合を定義し、ω1 のすべてに渡ってすべてのそれの和集合をとる、ということをその操作（σ-代数の生成）は含む。
連続体仮説詳細は「連続体仮説」を参照「ベート数」も参照

実数の集合の濃度（連続体濃度）は 2?0 である。この数がアレフ数の列のどこに一致するかは ZFC（選択公理を伴ったツェルメロ・フレンケル集合論）から決めることはできないが、ZFC から「連続体仮説 (continuum hypothesis, CH) は等式 2?0 = ?1 と同値である」ことが従う。CH は ZFC から独立である。（ZFC が無矛盾であれば）CH はその公理系において証明も反証もできない。それが ZFC と無矛盾であることは クルト・ゲーデル によって 1940 年にその否定が ZFC の定理でないことを示したときに証明された。それが ZFC と独立であることは ポール・コーエン によって 1963 年に逆に CH 自身は ZFC の定理でないことを（当時は新奇な）強制法の手法によって示したときに証明された。