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出典検索?: "アペリーの定数"
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アペリーの定数（―のていすう、英: Apery's constant）は、数学定数の一種である。これは、ゼータ関数を ζ とすると、ζ(3) で定義される。 ζ ( 3 ) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ ≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dotsb \\&\approx 1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots \end{aligned}}}
（オンライン整数列大辞典の数列 A002117）この値は無理数である（⇒アペリーの定理）。
「アペリーの定数」という名前は、1977年、ロジェ・アペリーがアペリーの定理を発表した際、彼自身によって命名された。 1772年、レオンハルト・オイラーによって、次のような表示が与えられた。 ζ ( 3 ) = π 2 7 [ 1 − 4 ∑ k = 1 ∞ ζ ( 2 k ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) 2 2 k ] {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]} ζ ( 3 ) = 2 π 2 7 log 2 + 16 7 ∫ 0 π 2 x log ( sin x ) d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log(\sin x)dx} また、この他に、サイモン・プラウフによって与えられた収束の早い級数がある。 ζ ( 3 ) = 7 180 π 3 − 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 π n − 1 ) {\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}} ζ ( 3 ) = 14 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 sinh ( π n ) − 11 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 π n − 1 ) − 7 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 π n + 1 ) {\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}
表現