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出典検索?: "アフィン写像" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2023年9月）

幾何学におけるアフィン写像（アフィンしゃぞう、英語: affine map）はベクトル空間（厳密にはアフィン空間）の間で定義される、平行移動を伴う線型写像である。アフィン (affine) はラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する。

始域と終域が同じであるようなアフィン写像はアフィン変換（アフィンへんかん、英語: affine transformation）と呼ばれる。アフィン写像はアフィン空間の構造を保つ。
基本事項

一般に、アフィン変換は線型変換（回転、拡大縮小、剪断（せん断））と平行移動の組み合わせである。いくつかの線型変換の組合せは一つの線型変換として得られるから、アフィン変換は一般に x ↦ A x + b {\displaystyle x\mapsto Ax+b}

の形で書けるもので尽くされる。有限次元の場合には、アフィン変換は適当な性質を満たす行列 A とベクトル b を用いて表すことができる。

幾何学的には、ユークリッド空間内のアフィン変換は以下のような構造を保つ。
共線性: （任意の）同一直線上にある3点のアフィン変換による像は、やはり同一直線上にある3点となる。

線分比: 同一直線上にある3点 p1, p2, p3 に対して、比 。 p 2 − p 1 。 / 。 p 3 − p 2 。 {\displaystyle |p_{2}-p_{1}|/|p_{3}-p_{2}|} は変換後も変わらない。

形式的定義

アフィン空間 (A, V(A)), (B, V(B)) に対し、写像 f: A → B と f が引き起こす線型写像 V(f): V(A) → V(B) の組 (f, V(f)) をアフィン写像という。ここで f が V(f) を引き起こすとは、f と V(f) との間に条件
任意の a ∈ V(A) に対し、 a = P Q → ( P , Q ∈ A ) ⇒ V ( f ) ( a ) = f ( P ) f ( Q ) → {\displaystyle a={\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\quad (\mathrm {P} ,\mathrm {Q} \in A)\Rightarrow V(f)(a)={\overrightarrow {f(\mathrm {P} )f(\mathrm {Q} )}}} が成り立つ。

任意の P ∈ A, a ∈ V に対し、f(P + a) = f(P) + V(f)(a) が成り立つ。ただし、"+ a", "+ V(f)(a)" はそれぞれ、A, B における平行移動を表す。

が満たされることをいう。このアフィン写像を f × V(f): (A, V(A)) → (B, V(B)) あるいは単に f: A → B で表す。

原点を固定して A = O + V(A), B = O′ + V(B) とみるとき、アフィン写像 f: A → B は具体的に A の点 P に対して f ( P ) = f ( O + O P → ) = f ( O ) + V ( f ) ( O P → ) = O ′ + ( V ( f ) ( O P → ) + O ′ f ( O ) → ) {\displaystyle f(\mathrm {P} )=f(\mathrm {O} +{\overrightarrow {\mathrm {OP} }})=f(\mathrm {O} )+V(f)({\overrightarrow {\mathrm {OP} }})=\mathrm {O} '+(V(f)({\overrightarrow {\mathrm {OP} }})+{\overrightarrow {\mathrm {O} 'f(\mathrm {O} )}})}

と書くことができて、特に位置ベクトルの間の関係 y = V ( f ) ( x ) + b ( x := O P → , y := O ′ f ( P ) → , b := O ′ f ( O ) → ) {\displaystyle y=V(f)(x)+b\quad (x:={\overrightarrow {\mathrm {OP} }},\,y:={\overrightarrow {\mathrm {O} 'f(\mathrm {P} )}},\,b:={\overrightarrow {\mathrm {O} 'f(\mathrm {O} )}})}

が得られる。つまり、アフィン写像は位置ベクトルの空間としての V(A) と V(B) の間で、線型写像 T = V(f) と定ベクトル b による平行移動の合成 y = Tx + b として作用することがわかる（位置ベクトルについてみれば V(f) と b の分だけずれている）。
アフィン変換の表現

通常のベクトルに関する代数学では、行列の積によって線型変換をあらわし、ベクトルの加法で平行移動を表す。あるいは拡大係数行列 (augmented matrix) を用いれば、双方を行列の積を用いて表すことができる。この場合は、どのベクトルも最後に余分な成分として 1 を付け加え、どの行列も 0 のみからなる余分な行を下に追加して、平行移動を表す列を右に加えることになる（ただし、右下の角には 1 を追加する）。つまり、A を行列とし、各ベクトルは縦ベクトルとして ( y 1 ) = ( A b   0 , … , 0 1 ) ( x 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&b\ \\0,\ldots ,0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}}

と書けば、これは y = Ax + b と書くのと等価である。行列とベクトルに関する通常の積はつねに原点を原点に移すから、したがって原点を他の点に移すことが必要になる平行移動を表現することはできない。任意のベクトルに 1 を追加することにより、本質的には変換される空間を余計な次元をもつ空間の部分集合と看做すことになる。この大きな空間のなかでは、もとの空間は最後の成分が 1 であるようなベクトル全体の成す部分空間となるから、もとの空間の原点は (0,0, ..., 0, 1) として得られる。もとの空間における平行移動は、この大きな空間の中では線型変換（とくに剪断変形）と見ることができる。これは斉次座標 (homogeneous coordinates) の例になっている。

斉次座標系を用いることは、複数のアフィン変換の組合せを行列の積によって一つに纏めて扱うことができるという点で有利である。これはコンピュータグラフィックスやコンピュータビジョン等で広く用いられる道具である。
アフィン変換の性質

アフィン変換が可逆であるとき、正則アフィン変換という。アフィン変換が正則となるのは、線型変換部分 A が正則であるときであり、そのときに限る。有限次元の場合、拡大係数行列による表現をもちいれば、逆変換は ( A − 1 − A − 1 b 0 , … , 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}b\\0,\ldots ,0&1\end{pmatrix}}}

で与えられる。正則アフィン変換の全体はアフィン変換群を成す。n-次元空間上のアフィン変換群 affn は、n-次一般線型群 GLn を部分群として含み、それ自身は (n+1)-次一般線型群 GLn+1 の部分群を成す。

相似変換の全体は直交変換のスカラー倍で表される変換全体の成すアフィン変換群の部分群である。アフィン変換の線型変換部分 A の行列式の値が 1 または −1 であることと、その変換で面積が保たれる（等積変換である）こととは同値であり、そのようなアフィン変換の全体もまた部分群を成す。両方の条件を組み合わせれば等距変換を得るが、そのような変換は線型変換部分 A が直交変換となるものであり、その全体は相似変換群と等積変換群双方の部分群を成す。