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出典検索?: "アフィン写像" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2023年9月）

幾何学におけるアフィン写像（アフィンしゃぞう、英語: affine map）はベクトル空間（厳密にはアフィン空間）の間で定義される、平行移動を伴う線型写像である。アフィン (affine) はラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する。

始域と終域が同じであるようなアフィン写像はアフィン変換（アフィンへんかん、英語: affine transformation）と呼ばれる。アフィン写像はアフィン空間の構造を保つ。
基本事項

一般に、アフィン変換は線型変換（回転、拡大縮小、剪断（せん断））と平行移動の組み合わせである。いくつかの線型変換の組合せは一つの線型変換として得られるから、アフィン変換は一般に x ↦ A x + b {\displaystyle x\mapsto Ax+b}

の形で書けるもので尽くされる。有限次元の場合には、アフィン変換は適当な性質を満たす行列 A とベクトル b を用いて表すことができる。

幾何学的には、ユークリッド空間内のアフィン変換は以下のような構造を保つ。
共線性: （任意の）同一直線上にある3点のアフィン変換による像は、やはり同一直線上にある3点となる。

線分比: 同一直線上にある3点 p1, p2, p3 に対して、比 。 p 2 − p 1 。 / 。 p 3 − p 2 。 {\displaystyle |p_{2}-p_{1}|/|p_{3}-p_{2}|} は変換後も変わらない。

形式的定義

アフィン空間 (A, V(A)), (B, V(B)) に対し、写像 f: A → B と f が引き起こす線型写像 V(f): V(A) → V(B) の組 (f, V(f)) をアフィン写像という。ここで f が V(f) を引き起こすとは、f と V(f) との間に条件
任意の a ∈ V(A) に対し、 a = P Q → ( P , Q ∈ A ) ⇒ V ( f ) ( a ) = f ( P ) f ( Q ) → {\displaystyle a={\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\quad (\mathrm {P} ,\mathrm {Q} \in A)\Rightarrow V(f)(a)={\overrightarrow {f(\mathrm {P} )f(\mathrm {Q} )}}} が成り立つ。

任意の P ∈ A, a ∈ V に対し、f(P + a) = f(P) + V(f)(a) が成り立つ。ただし、"+ a", "+ V(f)(a)" はそれぞれ、A, B における平行移動を表す。

が満たされることをいう。このアフィン写像を f × V(f): (A, V(A)) → (B, V(B)) あるいは単に f: A → B で表す。

原点を固定して A = O + V(A), B = O′ + V(B) とみるとき、アフィン写像 f: A → B は具体的に A の点 P に対して f ( P ) = f ( O + O P → ) = f ( O ) + V ( f ) ( O P → ) = O ′ + ( V ( f ) ( O P → ) + O ′ f ( O ) → ) {\displaystyle f(\mathrm {P} )=f(\mathrm {O} +{\overrightarrow {\mathrm {OP} }})=f(\mathrm {O} )+V(f)({\overrightarrow {\mathrm {OP} }})=\mathrm {O} '+(V(f)({\overrightarrow {\mathrm {OP} }})+{\overrightarrow {\mathrm {O} 'f(\mathrm {O} )}})}

と書くことができて、特に位置ベクトルの間の関係 y = V ( f ) ( x ) + b ( x := O P → , y := O ′ f ( P ) → , b := O ′ f ( O ) → ) {\displaystyle y=V(f)(x)+b\quad (x:={\overrightarrow {\mathrm {OP} }},\,y:={\overrightarrow {\mathrm {O} 'f(\mathrm {P} )}},\,b:={\overrightarrow {\mathrm {O} 'f(\mathrm {O} )}})}

が得られる。つまり、アフィン写像は位置ベクトルの空間としての V(A) と V(B) の間で、線型写像 T = V(f) と定ベクトル b による平行移動の合成 y = Tx + b として作用することがわかる（位置ベクトルについてみれば V(f) と b の分だけずれている）。
アフィン変換の表現

通常のベクトルに関する代数学では、行列の積によって線型変換をあらわし、ベクトルの加法で平行移動を表す。あるいは拡大係数行列 (augmented matrix) を用いれば、双方を行列の積を用いて表すことができる。