アインシュタインの縮約記法（アインシュタインのしゅくやくきほう、英: Einstein summation convention）またはアインシュタインの記法（アインシュタインのきほう、英: Einstein notation）は、アインシュタインが 1916 年に用いた添字 (suffix) の和の記法である[1]。アインシュタインの規約（アインシュタインのきやく、英: Einstein convention）とも呼ばれる。
同じ項で添字が重なる場合は、その添字について和を取る、というルールである。この重なる指標を擬標（またはダミーの添字、dummy index）、重ならない指標を自由標（またはフリーの添字、free index）と呼ぶ。
このルールは一般相対性理論、量子力学、連続体力学、有限要素法などで重宝する。
アインシュタインはこの記法を自分の「数学における最大の発見」と（冗談めかして）言ったという[2]。 4 次元空間におけるベクトル aμ と bμ (μ = 1, 2, 3, 4) の内積を記すときには、aμ bμ と記述される。これは、具体的に書けば a μ b μ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 {\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}} を意味することになる。 計量 (metric) が gμν (μ, ν = 0, 1, 2, 3) として表される曲がった時空においては、ベクトルの内積は a μ b μ = g μ ν a μ b ν = ∑ μ , ν = 0 3 g μ ν a μ b ν {\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }=g_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }=\sum _{\mu ,\nu =0}^{3}g_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }} と記述される。最後の式は 4 次元の場合の縮約を、和の形で書いたものである。 特に特殊相対性理論や場の量子論で標準的に用いられるミンコフスキー空間での内積は、計量を ημν = diag(1, −1, −1, −1) とするとき a μ b μ = a 0 b 0 − a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 {\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}} と記述される（宇宙論などでは、符号を逆に取る流儀もある）。
例
参考文献^ Einstein, Albert (1916年). “The Foundation of the General Theory of Relativity”
この項目は、自然科学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（Portal:自然科学）。
表
話
編
歴
テンソル
Glossary of tensor theory（英語版）
範囲 (Scope)
数学
座標
多重線型代数
ユークリッド幾何学
テンソル代数
微分幾何学
exterior calculus
テンソル解析
物理学 • 工学
連続体力学
電磁気学
移動現象論
一般相対性理論
コンピュータビジョン
表記法 (Notation)
添字表記法
多重指数
アインシュタインの縮約記法
リッチ解析（英語版）
Penrose graphical notation（英語版）
フォークト表記（英語版）
抽象添字記法
テトラド表記（英語版）
ファン・デル・ヴェルデン表示
テンソルの定義
テンソル空間
テンソル場
テンソル密度（英語版）
曲線座標系におけるテンソル（英語版）
混テンソル（英語版）
反対称テンソル
対称テンソル
テンソル作用素（英語版）
テンソル束（英語版）
算法
テンソル積
楔積
テンソルの縮約
行列（2階テンソル）の転置
添字の上げ下げ（英語版）
ホッジ双対
共変微分
外微分
共変外微分（英語版）
リー微分
関連事項
次元
基底
ベクトル、ベクトル空間
多重ベクトル（英語版）
ベクトルの共変性と反変性
線型写像
行列
スピノール
カルタン形式
微分形式
接続形式
測地線
多様体
ファイバー束
曲率形式
レヴィ・チヴィタ接続
アフィン接続
有名なテンソル
数学
クロネッカーのデルタ
エディントンのイプシロン
計量テンソル
