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出典検索?: "くし型関数" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2013年4月）
周期 T のくし型関数。

くし型関数（くしがたかんすう、英: comb function）は、デルタ関数を一定の間隔で並べた超関数。

comb T ⁡ ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n T ) . {\displaystyle \operatorname {comb} _{T}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT).}

ここで T は周期、δ はデルタ関数である。

様々な呼称があり、キリル文字の “Ш" の形に似ているためシャー関数 (shah function)、あるいは関数の性質から周期的デルタ関数とも呼ばれる。

くし型関数を通常の関数と見た場合、デルタ関数と同様、以下のように振る舞う。

comb T ⁡ ( x ) = { ∞ ( x = n T ) 0 ( x ≠ n T ) . {\displaystyle \operatorname {comb} _{T}(x)={\begin{cases}\infty &(x=nT)\\0&(x\neq nT)\end{cases}}.}

連続関数との積を取ることにより、一定間隔で離散化（サンプリング）した数値列を得ることができるわけではない（クロネッカーのデルタ関数と混同しないこと）。連続関数と積を取った後、積分を行うことで、積分を一定間隔値の無限和に変換する性質を持つ。サンプラーのモデルとしても扱われる。
特徴

くし型関数のフーリエ変換はくし型関数になる[1]。

F ( δ T ) = 2 π T comb 2 π T ⁡ ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta _{T})={\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {comb} _{\frac {2\pi }{T}}(\omega )}

ただしフーリエ変換すると周期が T から .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}2π/T になる。なお当然のことながら、積分を使わない離散フーリエ変換をくし型関数に定義することはできない。

以下のポアソン和公式が成り立つ[1]：

1 T comb ⁡ ( x T ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n T ) = 1 T ∑ m = − ∞ ∞ exp ⁡ ( 2 π i m x T ) {\displaystyle {\frac {1}{T}}\operatorname {comb} \left({\frac {x}{T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)={\frac {1}{T}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\exp \left({\frac {2\pi imx}{T}}\right)}