この項目では、論理学用語について説明しています。修辞法については「トートロジー」をご覧ください。
恒真式(こうしんしき、トートロジー、英: tautology、ギリシャ語のταυτο「同じ」に由来)とは論理学の用語で、「aならば aである (a → a) 」「aである、または、aでない (a ∨ ¬a)」のように、そこに含まれる命題変数
の真理値、あるいは解釈に関わらず常に真となる論理式である。対義語としては変数の値にかかわらず常に偽となる矛盾である。 命題論理において、命題を記号化したものが論理式であるが、論理式を構成している、最も単純な文に相当する要素式の真偽値の取り方に関係なく常に真(恒真)となる論理式が存在し、それらはトートロジーもしくは恒真式と呼ばれる[1]。真にも偽にもなりうる論理式を整合式(英: consistent well-formed formula)、恒に偽になる論理式を恒偽式もしくは矛盾式(英: contradictory well-formed formula)という。 ここでは古典命題論理における恒真式の定義を述べる。 V a l {\displaystyle \mathrm {Val} } を命題変数の全体とする。 f : V a l → { ⊤ , ⊥ } {\displaystyle f:\mathrm {Val} \to \{\top ,\bot \}} なる写像、すなわち命題変数への真理値割り当てを考える。 ⊤ {\displaystyle \top } は恒真、 ⊥ {\displaystyle \bot } は矛盾。次のようにして f {\displaystyle f} の始域を論理式の全体 F m l {\displaystyle \mathrm {Fml} } に拡張する(右辺の ∧ ∨ ¬ → {\displaystyle \wedge \vee \neg \to } は論理記号ではなく { ⊤ , ⊥ } {\displaystyle \{\top ,\bot \}} 上の 演算である): このようにして得られる写像 f : F m l → { ⊤ , ⊥ } {\displaystyle f:\mathrm {Fml} \to \{\top ,\bot \}} を付値という。任意の付値 f {\displaystyle f} に対して f ( α ) = ⊤ {\displaystyle f(\alpha )=\top } となるとき、 α {\displaystyle \alpha } を恒真式という。 古典論理の上で、次の論理式は恒真式である。 ある式が恒真式であるかどうかを確認することは命題論理の基本である。一般に、真理値表をつくって真理値分析を行う作業になる。命題変数がn個存在する場合2n通りのケースを調べればよい。例えば α → ( β → α ) {\displaystyle \alpha \to (\beta \to \alpha )} であれば次の4通りのケースを調べる。 α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } β → α {\displaystyle \beta \to \alpha } α → ( β → α ) {\displaystyle \alpha \to (\beta \to \alpha )} 次のようにして、代数的な式変形によっても確認できる。 α → ( β → α ) = ¬ α ∨ ( ¬ β ∨ α ) = ( α ∨ ¬ α ) ∨ ¬ β = ⊤ ∨ ¬ β = ⊤ {\displaystyle \alpha \to (\beta \to \alpha )=\neg \alpha \vee (\neg \beta \vee \alpha )=(\alpha \vee \neg \alpha )\vee \neg \beta =\top \vee \neg \beta =\top }
命題論理
述語論理にたいして真になるとき、この論理式は恒真 (validity
定義と例
f ( α ∧ β ) := f ( α ) ∧ f ( β ) {\displaystyle f(\alpha \wedge \beta ):=f(\alpha )\wedge f(\beta )}
f ( α ∨ β ) := f ( α ) ∨ f ( β ) {\displaystyle f(\alpha \vee \beta ):=f(\alpha )\vee f(\beta )}
f ( ¬ α ) := ¬ f ( α ) {\displaystyle f(\neg \alpha ):=\neg f(\alpha )}
f ( α → β ) := f ( α ) → f ( β ) {\displaystyle f(\alpha \to \beta ):=f(\alpha )\to f(\beta )}
¬ ( α ∧ ¬ α ) {\displaystyle \neg (\alpha \wedge \neg \alpha )}
α ∨ ¬ α {\displaystyle \alpha \vee \neg \alpha }
( α → β ) ⇔ ( ¬ β → ¬ α ) {\displaystyle (\alpha \to \beta )\Leftrightarrow (\neg \beta \to \neg \alpha )}
¬ ¬ α ⇔ α {\displaystyle \neg \neg \alpha \Leftrightarrow \alpha }
¬ ( α ∧ β ) ⇔ ( ¬ α ∨ ¬ β ) {\displaystyle \neg (\alpha \wedge \beta )\Leftrightarrow (\neg \alpha \vee \neg \beta )}
( ( α → β ) ∧ ( β → γ ) ) → ( α → γ ) {\displaystyle ((\alpha \to \beta )\wedge (\beta \to \gamma ))\to (\alpha \to \gamma )}
恒真式である確認
命題論理
TTTT
TFTT
FTFT
FFTT
^ 清水 1984, p. 51.
^ 清水 1984, pp. 14?15.
参考文献
清水義夫『記号論理学』東京大学出版会、1984年。
関連項目
論理的真理
推論
完全性
論理回路
論理記号の一覧
循環定義
外部リンク
⇒7.恒真命題・恒偽命題 (山陽学園大学 論理学)
⇒11.述語論理 (山陽学園大学 論理学)
表
話
編
歴
論理演算
恒真式 ( ⊤ {\displaystyle \top } )
NAND ( ↑ {\displaystyle \uparrow } )
逆含意 ( ← {\displaystyle \leftarrow } )
IMP ( → {\displaystyle \rightarrow } )
OR ( ∨ {\displaystyle \lor } )
否定 ( ¬ {\displaystyle \neg } )
XOR ( ⊕ {\displaystyle \oplus } )