「∀」はこの項目へ転送されています。略称が「∀」の作品については「∀ガンダム」を、その作品に登場するモビルスーツについては「∀ガンダム (架空の兵器)」をご覧ください。
.mw-parser-output .Unicode{font-family:"TITUS Cyberbit Basic","Code2000","Chrysanthi Unicode","Doulos SIL","Bitstream Cyberbit","Bitstream CyberBase","Bitstream Vera","Thryomanes","Gentium","GentiumAlt","Visual Geez Unicode","Lucida Grande","Arial Unicode MS","Microsoft Sans Serif","Lucida Sans Unicode",sans-serif}∀
全称記号(ぜんしょうきごう、universal quantifier)とは、数理論理学において「全ての」(全称量化)を表す記号である。通常「∀」と表記され、全称量化子(ぜんしょうりょうかし)、全称限量子(ぜんしょうげんりょうし)、全称限定子(ぜんしょうげんていし)、普遍量化子(ふへんりょうかし)、普通限定子(ふつうげんていし)[1]などとも呼ばれる。 「P(x)」という開論理式
記号の意味
「∀xP(x)」は存在記号と否定記号とを用いて、「¬∃x¬P(x)」と表現することもできる。「¬∃x¬P(x)」は「P でないような x は存在しない」という意味だから、これはすなわち「全ての x は Pである」ということである。また、議論領域 (domain of discourse) が有限の場合、「∀xP(x)」は全称記号を使わずに連言のみで表現できる。例えば議論領域が {a, b, c} のとき、「∀xP(x)」と「P(a) ∧ P(b) ∧ P(c)」は同じ意味となる(詳しくは述語論理、量化の各記事を参照)。また ∀x ∈ A P(x) により ∀x[x ∈ A ⇒ P(x)] あるいは ∀x > 0 P(x) により ∀x[x > 0 ⇒ P(x)] を意味するような略記が用いられる[2][3]。 全称量化を表現する記号法が初めて導入されたのは、量化理論の祖とされるゴットロープ・フレーゲの『概念記法』(1879年)[4]においてである。しかしフレーゲの論理式表記法は、現在広く用いられている線形的な表記法とは大きく異なる2次元的な表記法であり、全称量化の表現も独特のものを採用していた。現在の表記法で「∀xP(x)」と表現される式は、フレーゲの表記法では、フレーゲによる全称量化の表記法 と書かれた。P(x)の左側にあるくぼみ部分が全称記号に当たる[5]。このフレーゲの表記法はそのあまりの特殊性から、その後普及することはなかった。 こののち、イタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノによって線形的な論理式表記法が整備され、これを受け継いだラッセルとホワイトヘッドの『プリンキピア・マテマティカ』(1910-1913年)[6]においては、全称記号は「( )」によって表現された。すなわち「∀xP(x)」は、「(x)P(x)」と表記された。この「( )」という記号法の形は、「全ての」を意味するラテン語「omnis」の頭文字「O」に由来するという。『プリンキピア・マテマティカ』ではこのほかに「(x)[P(x) ⊃ Q(x)]」の略記法として、(これもペアノに由来する)「P(x) ⊃x Q(x)」という表記法が用いられている[7]。このラッセル流の記号法はチャーチやクワインの教科書にも採用されたため、その後も一定の影響力をもった。 現在最も広く用いられている「∀」という記号は、ドイツの論理学者ゲルハルト・ゲンツェンによって導入されたといわれている。ゲンツェンが1935年に発表した論文「論理的推論についての研究 1」では、「All-Zeichen」(直訳すると「全て記号」)として「∀」が使用されており、これはラッセルが用いていた存在記号「∃」に対応してデザインされたものだという。この記号の形は、「all」(ドイツ語で「全ての」を意味する)の頭文字「A」を反転させたものに由来している。 ゲンツェンはラッセル流の「( )」をあえて採用しなかったが、これは、数学において「( )」は既に別の意味で用いられており、既存の用法との混同を避けたかったためだと同論文では説明されている[8]。第二次世界大戦後の数理論理学界を代表する2冊の教科書、クリーネの『メタ数学入門』(1952年)[9]及びシェーンフィールドの『数理論理学』(1967年)[10]では、このゲンツェン流の記号法が用いられている。 このほかにも様々な記号法が存在し、例えばシュレーダー こうした「∀」以外の記号法は近年ではあまり見られなくなったが、現在でも対象量化と代入量化
記号法の歴史
フレーゲ
ラッセル=ホワイトヘッド
ゲンツェン
その他の記号法
量化の記号法一覧量化の記号法一覧