数学において、位相空間がσコンパクト (σ-compact) であるとは、可算個のコンパクト部分空間の合併であることをいう[1] 。

空間がσ局所コンパクト (σ-locally compact) であるとは、σコンパクトかつ局所コンパクトであることをいう[2]。

目次

1 性質と例

2 関連項目

3 脚注

4 参考文献

性質と例

すべてのコンパクト空間はσコンパクトであり、すべてのσコンパクト空間はリンデレーフ空間である（すなわちすべての開被覆は可算部分被覆を持つ）[3]。逆は成り立たない。例えば、標準的なユークリッド空間 (Rn) はσコンパクトだがコンパクトでなく[4]、実数直線上の下極限位相（英語版）はリンデレーフだが σ コンパクトでない[5]。実は、補可算位相（英語版）はリンデレーフだがσコンパクトでも局所コンパクトでもない[6]。


σコンパクトかつ局所コンパクトな空間はパラコンパクトである[7]。とくに、多様体がσコンパクトならばパラコンパクトである[8]。逆に、パラコンパクト多様体の連結成分の個数が高々可算個であればσコンパクトである[9]。


ハウスドルフベール空間がσコンパクトでもあれば少なくとも1点で局所コンパクトでなければならない。


G が位相群で G が1点で局所コンパクトであれば、G はすべての点で局所コンパクトである。したがって、直前の性質より、G がσコンパクトハウスドルフ位相群でベール空間でもあれば、G は局所コンパクトである。これはハウスドルフ位相群がベール空間でもあればσコンパクト性から局所コンパクト性が従うことを示している。


直前の性質より例えば Rω はσコンパクトでない。なぜならば、仮にσコンパクトとすると、Rω は位相群であってベール空間でもあるから、局所コンパクトでなければならない。


すべての半コンパクト空間（英語版）はσコンパクトである[10]。しかしながら、逆は正しくない[11]。例えば、有理数全体からなる空間に通常の位相を入れると σ コンパクトだが半コンパクトではない。


σコンパクト空間の有限個の積はσコンパクトである。しかしながら、σコンパクト空間の無限個の積はσコンパクトとは限らない[12]。


σコンパクト空間 X が第二類(resp. ベール) であることと X が局所コンパクトであるような点の集合が X において空でない（resp. 稠密である）ことは同値である[13]。

関連項目

Exhaustion by compact sets（英語版）

リンデレーフ空間

脚注^ Steen, p. 19; Willard, p. 126.
^ Steen, p. 21.
^ Steen, p. 19.
^ Steen, p. 56.
^ Steen, pp. 75?76.
^ Steen, p. 50.
^ 松島，p. 86.
^ 松島，p. 88.
^ 松島，p. 88.
^ Willard, p. 126.
^ Willard, p. 126.
^ Willard, p. 126.
^ Willard, p. 188.

参考文献

Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.

Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 

松島与三 (2008). 多様体入門. 数学選書5 (37 ed.). 裳華房. ISBN 978-4-7853-1305-0. 

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更新日時:2015年6月10日(水)09:16
取得日時:2018/04/14 09:30