抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。一般に体 K の有限次分離拡大の「合併」として K の分離閉包 Ksep が考えられる。Ksep の正規部分拡大 L の自己同型で K の元を固定しているもの全体 Gal(L/K) は L に含まれる K の有限次分離拡大のガロア群の射影極限となっている。Gal(L/K) は各点収束の位相について位相群となり、L の中間体のなす系と、 Gal(L/K) の閉部分群たちのなす系との間に同値性が成り立つ。
体 K に対しその絶対ガロア群 GK = Gal(Ksep/K) が推移的かつ連続に作用する有限離散空間 X が与えられたとする。このとき X から Ksep への写像の空間 (Ksep)X に対する GK の作用(g.f)[x] = f(g?1x)
が考えられる。この作用の下で固定されている写像たちのなす部分代数は、X の任意の一点の固定部分群に関する Ksep の不変部分体と同型になる（X の点の取り替えは Ksep の中での共役な部分体の取り替えに対応する）。X への作用の推移性を外すことは K の分離拡大体の代わりに K 上のエタール代数を考えることに対応し、こうして K 上のエタール代数のなす圏と GK が連続に作用する離散有限空間のなす圏との間の圏同値が得られる。これを出発点としてアレクサンドル・グロタンディークによるガロア理論の圏論的定式化がえられる。
グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。K上のエタール代数はアフィンスキーム Spec(K) の上のエタール層を表しており、埋め込みK → Ksepに対応する射 Spec(Ksep) → Spec(K) が表す「点」でのファイバーをとることに対応する関手 FKsep: A → HomK(A, Ksep) が、圏同値Spec(K)上のエタール層の圏 EtK ≡ Gが連続的に作用する集合の圏 BG
をひきおこしている。また、絶対ガロア群はこのファイバー関手の自己同型群として実現されており、特定の公理を満たしている関手 からガロア群を復元できることがわかる。また、上の圏同値によって、体K上の ガロアコホモロジーは、Spec(K) 上のエタールコホモロジー理論と同値となる。
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
フロベニウス、...TBD
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。L と K の中間体 M と Gal(L/K) の部分群 H について次の式が成立つ。M = LGal(L/M), H = Gal(L/LH)
ただし、Gal(L/M) は拡大 L/K のガロア群であり、LH は L の元のうちで H の下で不変になっているもののなす L の部分拡大を指す。
したがって、Lの中間体 M とガロア群 Gal(L/K) の部分群 H の間の対応φ : M → H = Gal(L/M), ψ: M = LH ← H
は互いに逆で、これらは全単射になることがわかる。また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。つまり、M1 ⊃ M2 ならば φ(M1) ⊂ φ(M2), G1 ⊃ G2 なら ψ(G1) ⊂ ψ(G2) となる。
ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。その後、1846年になって、リューヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。
ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。 カテゴリ: 体論 | 数学に関する記事
更新日時:2008年9月16日(火)15:47
取得日時:2008/11/06 22:17