数学において、小数点以下の各位にすべて9が並ぶ循環（十進）小数 0.999... が実数を表すものならば、それはちょうど 1 に等しい。循環小数としての 0.999... は循環節の明確化のために

などとも記される。
目次

1 概要

2 0.999... とは何か

3 桁ごとの操作

3.1 分数を用いた証明

3.2 代数的な証明


4 実解析

4.1 無限数列と無限級数

4.2 区間縮小法と上限


5 教育現場でのとまどい

6 実数

6.1 実数の切断

6.2 コーシー列


7 他の数体系

7.1 無限小

7.2 減法の崩壊

7.3 p-進数


8 一般化

9 応用例

10 民間における文化

11 関連する問題

12 脚注

13 関連項目

14 参考文献

15 外部リンク

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概要

数を表すために広く十進記数法が用いられる関係から、任意の実数をその十進小数展開によってとらえることがよく行われる。そしてそのような枠組みの中で循環小数 0.999...によって表される実数というものを考えることができるが、これはまったく完全に寸分の違いもなく 1 に等しい。つまり、"0.999..." という記号は "1" という記号が表すのとまったく同じ数を表現しているということである。この数が2通りの表現を持っているというように言い換えることもできる。このことの証明は、どの程度数学的に厳密であるかということまで含めて、種々の仕方で定式化することができる。ただし、それは目的や場合に応じて、実数の概念の取り扱いであるとか、背景になっている仮定であるとか、歴史的な文脈であるとか、あるいは一体どういった聴衆を想定するかなどといった主題に沿って好ましいものが選び取られるということを意識する必要がある。

この 1 = 0.999... という等式は長きにわたり教科書にも記され、「等しくないはず」と信じてやまない学生・生徒たちに「等しい」と理解し受け入れてもらうためにはどのように教えればいいのか、といったようなことが数学教育という観点から研究もされてきた。ここで「等しくない」とする人々のいう理由というのは典型的に実数に対するいくつかの一般的な誤解に基づくものである。それは例えば、「一つの小数表示は必ず一つの実数に一意的に一対一対応していなければならない」といった思い込みであったり、「どんな実数よりも小さな無限小という量が（それが四則演算や大小関係との間に齟齬を来すとしても）存在するはずである」という期待であったり、極限という概念が理解できないかあるいは単に思い込みだけで「いくら 9 が無限に続いても、そこには最後の 9 というものがあるはずだ」と言ったり、といったものを典型として挙げることができる。これらの考えというのは、こと実数の体系の中で考えるとするならば誤っている。それは有理数から実数を構成することによって明示的に示されることであり、またそのような実数の構成というものは 1 = 0.999... をも直接に証明してしまう。しかしもちろんそれと同時に、実数とはまったく異なるいくつかの数体系ではこれらの直感的な感覚が真であるようなことも起こりうる。実際に合理的に "0.999..." と呼ぶことのできる対象があって、それが厳密に 1 よりも小さいような体系さえあるのである。

1 の小数展開が二種類あるというのは何も十進法に特有の現象ではなく、十以外の整数を基数とする位取りで表しても同じことが起きる。一方、数学者たちは非整数を基数として 1 を書き表す方法を定量的に取り扱ってきた。またこの表示の二重性は 1 に特有のことでもなく、零でないすべての有限小数が（これは有限小数を無限小数として表現すると途中からずっと 0 の続く無限小数、たとえば1.000...となることを意味する）、途中からずっと 9 の無限に続く無限小数を双子の片割れとして持っている。実際のところ、すべての位取りに基づく記数法がこのような表示の曖昧さを持つ数を無限に含んでいるのである。このように基数を取り替えて同じものを様々に表示することは、分数の小数展開や、さらに数学的に発展させると簡単なフラクタルであるカントール集合などが持っているパターン構造をよりよく理解するために応用することもでき、実数全体の成す無限集合の古典的な研究の一部を成しているのである。

0.999... とは何か

0.999... は十進法で書かれた数であり、これが 1 に等しいという最も単純な証明のいくつかは、この記数法の便利な算術的性質に依存している。 十進小数のほとんどの計算（加法、減法、乗法、除法、大小比較）が整数の場合と同じ "桁レベルの操作" により為されている。また、整数の場合と同様に、ある桁が異なる任意の2つの有限小数は（あとに 0 がずっと続く場合を無視して）異なる数を表す。特に、"0.999...9" と表される任意の数（9 が有限個続いているだけのもの）は厳密に 1 より小さい。

省略記号 "..." の意味は厳密に特定されなければならない。ここでの "..." の用法は、言語もしくは 0.999...9 における "..." の用法とは異なる。後者の用法は、有限 な部分を明言しなかったり省略したりする用法である。循環小数に対して用いるときには、"..." はある無限 な部分を明言しないことを意味する。特に、0.999... は数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...} の極限（これは、k= 1, 2, 3, ..., ∞ に対し 9 × 0.1k の形をしたすべての項の和に等しい）を表している。0.999... の誤った解釈は、これが 1 に等しいことに関する誤解の原因となる。

等式 0.999... = 1 の証明はいろいろある。これを代数的に示す前に、『2つの実数が等しいのは、これらの差（の絶対値）が（第3の）正の実数に等しくない場合に限る』ことに注意する。1 と 0.999... との距離は、任意に与えられた任意の正の数より小さい（これは上記の数列で定義される閉区間と三角不等式を用いて形式的に証明できる）。