ひとつの定まった値の角度を伴う角（かく）の定義は、 平面α上の一点 O とそれから出る 2 つの半直線、およびそれらにより平面αが分割されて生じる 2つの領域のうちの一方α1、の三者からなる図形、というものである。ただし後述のように、この定義は数学における主要な定義とは微妙に異なる。
なお、このとき点 O を角の頂点(vertex)、 2つの半直線を角の辺(side)という[1][2][3]。
ここで頂点 O を中心とする半径 r の円を考えると、無限領域α1の一部でありこの円と上記 2 つの半直線で囲まれた有限領域である扇形ができる。この扇形の弧の長さは半径 r に比例し面積はr 2 に比例するが、その比例係数が角度になる。従って角度の大きさは扇形の弧と半径の比で定義するのが一般的である。
ここで 2つの半直線が最初は同じものとして重なっており、一方が、その端点を点 O に固定されたままで領域α1内を徐々に移動(回転)していったものと考えると、角度はこの移動量(回転角)を示すものでもある。この観点からは角度は 2 つの半直線の開き具合を示す量ともいえる。実際、このような回転から角および角度を定義している事典もある[4]。
上記の点 O と 2つの半直線が定まると、それらにより平面αが分割されて生じる 2つの領域にそれぞれ対応して 2つの角が生じる。この 2 つの角のうち角度が大きいほうを優角[5][6][7][3][8]、小さいほうを劣角[7][3][9]と呼ぶ。明らかにどんな一組の頂点と2辺についても、その優角と劣角との角度の和は、2πで一定である。
平面α上の 1点で交わる 2つの直線は平面αを 4つの領域に分け、それぞれの領域に対応する 4つの角が生じる。これら 4つの角を、この 2つの直線のなす角という。1点で交わる 2つの直線は同一平面上にあるので、"平面上の"という条件は実は必要がない。
ダフィット・ヒルベルトがその著書の"幾何学基礎論"において示した公理系[1]では、「端点を共有する 2つの半直線の組」(引用文献のままの表現ではない)として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している数学辞典[5][2]や国語辞典[7][3][10]が多く、最も受け入れられた数学的定義とみなせる。
この定義の前記定義との違いは 2つの半直線が挟む領域を含めていないことである。ヒルベルトの公理系ではそのかわり、平面αが角(2つの半直線)により分割されて生じる 2つの領域の一方を角の内部、他方を角の外部として区別している。角度の小さい領域が内部になるのだが、この段階では角度はまだ定義されていないため、別の方法での定義をしている。そして定理20で角の大小関係を定義している。すなわち、1辺を共有する 2つの角のうち1方の角θ1の辺が他方の角θ2の内部にあれば、θ1＜θ2であると定義する。すなわち、角の大小関係として劣角の角度の大小関係を採用したことになる。
ユークリッドの著作『原論』[11][12][13]では第1巻の定義8において、「互いに交わる 2つの線(line)の傾き(inclination)」(引用文献のままの表現ではない)と定義されている。"傾き"という語の解釈次第では 2 つの直線で分割された領域のいずれかを含むと解釈することも可能であり、そう解釈している辞典もある[14]。またこの定義と同じように「"傾き"である」という定義を採用している国語辞典もある[15]。またこの定義での2つの線は線(原論では定義2)であって直線(原論では定義4)ではないので、曲線も含まれる[11][16]。2つの半直線の傾きとしての角、つまりヒルベルトの定義による角は、定義9で直線角(rectilinear)という名称で定義されている。
英英辞典には 2つの半直線の間の領域(space)が角であるとするものもある[17]。
2つの滑らかな曲線が交わるとき、その交点におけるそれぞれの接線同士がなす角を、これらの曲線のなす角という。
ひとつの直線 l で交わる 2つの平面αとβを考える。l 上の任意の 1点 A を通り、l に垂直で、それぞれ平面αおよびβ上にある直線を考え、この 2直線のなす角を、平面αとβのなす角という。この 2直線は点 A で交わるので、角をなし、その角度は点 A を l 上のどこにとっても等しい。平面同士のなす角を二面角(dihedral angle)ともいう。