有界変動の関数 φ によるリーマン和の変形から定まる積分：
をリーマン・スティルチェス積分という。φ(x) = x のときは通常のリーマン積分。φ が可微分関数で φ' が連続なら、
で、これは密度を持つリーマン積分。
狭義には、ルベーグ測度による積分。この意味では可算無限個の不連続点をもつ至る所連続な関数は積分できる。リーマン積分ではジョルダン測度を用いているため、前述のディリクレ関数などを積分することができなかったが、ルベーグの意味では積分可能である。有理点のルベーグ測度は 0 であり、積分の結果は 0 になる。ルベーグ可積分な函数がリーマン積分可能ならば、両積分の値は一致する。広義リーマン積分を特異積分と呼ばれる積分としてルベーグ積分に包摂するとき、狭義および広義のリーマン可積分函数はルベーグ可積分である。
測度論がやや抽象的なため取っ付きにくいが、その分積分自体は極限操作に秀でている。
詳しくはルベーグ積分を参照。
リーマン・スティルチェス積分の拡張。加法的集合関数の変動が定める測度に関するルベーグ積分。
通常のリーマン積分は、積分区間の分割の幅を一様に0に近づけたときの対応するリーマン和の極限として定義されるが、リーマン和の取り方や分割の幅の縮め方を変えることによってさまざまな積分を定義でき、このように定義される積分をリーマン型積分と言う。たとえば、マクシェイン積分（McShane integral）ヘンストック・カーツヴァイル積分(Henstock-Kurzweil integral)などのゲージ積分がリーマン型積分である。
積分に関する教科書・参考書は膨大な量になるが、利用者の便を図り、レベル・内容別に有用と思われる文献を挙げる。
入門者向け
篠崎寿夫、松浦武信『ルベーグ積分と関数空間入門』現代工学社 1991年 ISBN 4-87472-149-4： 物理・工学系の学生向け
カテゴリ: 微分積分学 | 初等数学 | 数学に関する記事 | 数値積分
更新日時:2008年8月29日(金)19:35
取得日時:2008/09/01 00:02