任意のε >についてRn の部分集合Aの可算個の区間の直積による被覆が存在し、その被覆の体積の総和がε >以下であるとき、Aはルベーグ零集合である。可算集合はすべて零集合である。またRn 上のn次元未満の部分集合は零集合である (例:R2上の直線や円)
Aがルベーグ可測であることを示すために次のような方法が使われる。AとBの対称差が零集合であるようなよりよいBを見つけ、Bが開集合や閉集合の可算個の和集合であることを示す。
現代の外測度からのルベーグ測度の構成は、カラテオドリによる。それは次のように進める:
Rnの任意の部分集合Bについて、次を定義する。
ここでvol(M)は区間の長さの積とする。このとき、任意のBについてAが次の式をみたすときルベーグ可測であるという。
この定義により、ルベーグ可測集合の族はσ-代数となり、ルベーグ測度λ(A) = λ*(A) と定義する。
ヴィタリ理論から実数Rの部分集合でルベーグ可測でないものが存在する。
他の測度との関係
ボレル測度が定義される集合については、ルベーグ測度と一致する。しかし、ボレル可測でないがルベーグ可測な集合も多く存在する。ボレル測度は平行移動不変だが、完備ではない。
局所コンパクト群で定義されるハール測度はルベーグ測度の一般化である。
ハウスドルフ測度(参考:ハウスドルフ次元)は、Rn上のn次元以下の集合の測度を決めるのに役立つルベーグ測度の一般化である。
ルベーグ可測でない集合の"奇妙な"ふるまいとしては、選択公理の結果であるバナッハ＝タルスキーのパラドックスがあげられる。
1901年アンリ・ルベーグは測度について記述し、続けて次の年にもルベーグ積分の記述でもふれた。それらは 1902の論文「積分・長さ・面積」の一部として発表された。
参考文献 カテゴリ: 測度論 | 数学に関する記事
更新日時:2008年3月3日(月)12:31
取得日時:2008/08/13 13:47