1729年11月24日、ノヴゴロドの貴族の家に生まれる（1730年出生説もある）。父のヴァシリ・イヴァノビチ・スヴォーロフはピョートル1世に仕えた将軍であった。母のアヴドーチヤは、同じくピョートル1世に仕え、オリョール総督を務めたアルメニア系貴族フェドセイ・マヌコフの娘であった。
1742年11月3日、軍に入隊したスヴォーロフは、ロシア・スウェーデン戦争（1741年-1743年）に従軍した。1748年1月12日、伍長となりサンクトペテルブルグ連隊に配属となった。1749年、連隊の配置がモスクワに転換され、この機会にスヴォーロフは士官学校に入学した。1751年、士官学校を卒業し、ソコーニン少将の副官となった。この年の3月から10月にかけて、外国使節となった少将に従い、ドレスデンやウィーンを訪問した。
1754年、中尉に昇進。1755年からスヴォーロフは部隊の指揮官となった。1756年、大尉に昇進。同年8月29日に勃発した七年戦争に従軍した。1759年8月12日のクーネルスドルフの戦いにも参加し、他にも数々の功績を立てた。終戦となった1762年までにスヴォーロフは大佐に昇進し、連隊を指揮していた。
ポーランド侵攻ソビエト連邦 切手, アレクサンドル・スヴォーロフ, 1980 (Michel 5009, Scott 4878)
1768年、ポーランドへの干渉を強めるロシアに対して、シュラフタを中心とするバール連盟が決起し、ロシアとポーランド王スタニスワフ2世に対する闘争を開始した。スヴォーロフは3個連隊(スモレンスク、スズダリ、ニジニ・ノヴゴロド)を率いてポーランド侵攻に従軍した。
1769年夏、スヴォーロフはスズダリ連隊と騎兵2個中隊を率い、わずか12日で500キロを踏破してワルシャワを制圧。1771年9月23日、直属の兵わずか822名で、3000から4000名の連盟軍を撃破。1772年4月26日、クラクフを占領し、連盟を降伏させた。結果、第一回目のポーランド分割が行われた。スヴォーロフはこれらの功績により少将に昇進した。
ポーランド侵攻と並行して、ロシアはオスマン帝国との間に露土戦争を行っていた（第一次露土戦争）。ポーランド制圧を終えたスヴォーロフはこの方面に派遣され、1773年4月17日、アストラハン歩兵連隊とコサック騎兵連隊の指揮を引き継いだ。スヴォーロフの部隊はサルティコフ中将の第一軍の隷下に置かれ、全軍の右翼についた。
1773年6月28日、スヴォーロフはドナウ川近郊に築かれたオスマン軍野営地を奇襲して勝利した。オスマン軍はドナウ川を越えて撤退し、ロシアはルーマニアを制してトルコ侵攻の橋頭堡を築いた。1774年1月27日、スヴォーロフはワルワラ・イワノヴナ・プロソロスカと結婚した。
4月、スヴォーロフはバルカン半島に侵攻し、6月19日、コズルドジで8,000名の軍で40,000名のオスマン軍を撃破した。これはオスマン帝国にとって決定的な打撃となった。6月21日、キュチュク・カイナルジ条約が締結され、ロシアはオスマン帝国から多数の利益を引き出した。
この頃、ヴォルガではコサックの首長エメリヤン・プガチョフによる反乱（プガチョフの乱）が勃発していた。露土戦争終結後まもなく、スヴォーロフは鎮圧に派遣された。1774年8月30日、現地軍の指揮を引き継いだスヴォーロフは、9月14日までに反乱軍を撃破し、首謀者のプガチョフを捕縛してモスクワへ送った。スヴォーロフは引き続き軍の指揮を任され、反乱軍残党の掃討にあたった。1775年8月11日、留守中にサンクトペテルブルクで娘ナターリヤが生まれた。
1777年、スヴォーロフはクリミア軍司令官に任じられ、軍の再編にあたった。1779年、カフカス軍司令官に異動。1780年、中将に昇進した。1782年、カザン軍司令官に異動。1783年、大将に昇進した。1784年、息子アルカディーが生まれた。
1787年、ロシアのオスマン帝国への領土割譲要求をきっかけに再び露土戦争が勃発した（第二次露土戦争）。スヴォーロフは30,000名の軍を率いてドニエプル河口にあった。
