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数学の中で、特別の名前を冠するに足る重要な関数がいくつかある。

これはそれらの関数の個々の記事を参照するリストである。
目次

1 初等関数

2 整数論的関数

3 その他の特殊関数

4 超関数

5 関数のクラス

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初等関数

リュービルは初等関数を次のように定義した。多項式を第 0 級初等関数、指数関数 ez と対数関数 log(z) を第 1 級初等関数、両者をあわせて、たかだか第 1 級初等関数と呼ぶ。以下、関数の合成を行うことで、たかだか第 n 級初等関数を帰納的に構成できる。たかだか第 n 級初等関数であって、たかだか第 n?1 級初等関数でないものを、第 n 級初等関数と呼ぶ。

多項式関数: 多項式は不定元のべきたちの定数倍と、それらの和のみからなり、不定元への値の代入が関数を定める。べき関数とも呼ばれる。多項式の次数 n により 「n 次関数」のようにも呼ばれる。

一次関数

二次関数

三次関数


有理関数: 多項式の商で与えられる関数。分数関数、代数関数とも。


平方根: 二乗すると与えられた数になるような数を返す。

立方根: 三乗すると与えられた数になるような数を返す。

指数関数: ある定数の冪乗。特に、自然対数の底 e の冪乗を扱うことが多い。

対数関数: 指数関数の逆関数であり、指数を含む方程式を解くのに便利。

三角関数: 正弦関数 (sin)、余弦関数 (cos)、正接関数 (tan)、その他。幾何学や、周期的な現象を記述するために使われる。

双曲線関数: 双曲正弦 (sinh)、双曲余弦 (cosh) など。三角関数に似た関係式を持つ。

整数論的関数

主に整数論で使われる関数の一覧。

σ関数: 与えられた自然数の、各約数の累乗の総和。

オイラーのφ関数: 与えられた自然数以下で、その自然数と互いに素な自然数の個数。

分割関数: 与えられた正整数を、正整数の和で書き表す方法が、順序をのぞいて何通りあるか。そのパターン数を与える関数。

メビウス関数：n が平方因子を持つ数ならば μ(n) = 0、n が相異なる偶数個の素数の積ならば μ(n) = 1、n が相異なる奇数個の素数の積ならば μ(n) = ?1 と n によって3通りの値をとる関数。

ゼータ関数およびその類似物であるL関数：これらの関数と素数の間に深い関係があることは、リーマン予想で示唆されている。リーマン予想を仮定すると 素数の個数（しばしば π(x) と記す与えられた数以下の素数 の個数）も精度の高い式が得られることが知られている。ディリクレ級数のひとつでもある。

その他の特殊関数

名前のついた関数を特殊関数というが、ここは他の分類に収まらないものの一覧。

絶対値: 与えられた数の符号を取り払ったもの。

床関数: 与えられた実数を越えない最大の整数を返す。

天井関数: 与えられた実数を下まわらない最小の整数を返す。

ガンマ関数: 階乗の一般化。

楕円積分: 楕円の周の長さから生じる。多くの応用において重要。

楕円関数: 楕円積分の逆関数。二重周期を持つ現象のモデル化に用いられる。

ベッセル関数: 微分方程式により定義される。天文学、電磁気学、工学でよく使われる。

対数積分: 「対数関数分の 1」の不定積分。素数定理において重要。

ランベルトのW関数: f(w) = w exp(w) の逆関数。

誤差関数: 正規乱数で重要な積分。

ベータ関数: ガンマ関数を用いて表現できる。

アッカーマン関数 (Ackermann function): 計算理論において、原始帰納的でない帰納的関数。

ヘヴィサイドの階段関数 (Heaviside step function): 負の値に対し 0 を、0 に対し 1/2 を、正の値に対し 1 をそれぞれ対応させるような不連続な実数値関数。