角度（かくど、アングル）とは、角（かく）の大きさを表す量・測度のこと。

角は広義には諸々の線や面の 2つが交わって、その交点や交線のまわりにできる図形を指す。2つの線や面が交わって角を作ることを角をなすという。さらに広義には、交わる 2つうちの片方もしくは両方が高次元空間中の超平面でもよい。多くの場合は、単に角と言えば平面上の図形に対して定義された平面角を指し、さらに狭義には直線同士の交わりによりできる図形を指す。この場合の角度とは、同じ端点を持つ 2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。また、直線以外の曲線や面などの図形がなす角の角度も、何らかの 2つの直線のなす角の角度として定義される。

立体的な角として立体角も定義されているが、これは上記の定義には当てはまらない。その大きさは単に立体角と呼ばれることが多く、角度と呼ばれることはほとんどない。

以下、本項目においては平面角を扱う。
目次

1 定義

1.1 直線のなす角

1.2 曲線のなす角

1.3 平面のなす角


2 分類

2.1 大きさによる分類

2.2 大きさ以外による分類

2.3 角同士の関係による分類


3 単位系

3.1 度数法

3.2 弧度法

3.3 勾配

3.4 時間表記

3.5 相互関係


4 参考文献

5 外部リンク

6 関連項目

//

定義

直線のなす角

ひとつの定まった値の角度を伴う角（かく）の定義は、 平面α上の一点 O とそれから出る 2 つの半直線、およびそれらにより平面αが分割されて生じる 2つの領域のうちの一方α1、の三者からなる図形、というものである。ただし後述のように、この定義は数学における主要な定義とは微妙に異なる。

なお、このとき点 O を角の頂点(vertex)、 2つの半直線を角の辺(side)という[1][2][3]。

ここで頂点 O を中心とする半径 r の円を考えると、無限領域α1の一部でありこの円と上記 2 つの半直線で囲まれた有限領域である扇形ができる。この扇形の弧の長さは半径 r に比例し面積はr 2 に比例するが、その比例係数が角度になる。従って角度の大きさは扇形の弧と半径の比で定義するのが一般的である。

ここで 2つの半直線が最初は同じものとして重なっており、一方が、その端点を点 O に固定されたままで領域α1内を徐々に移動(回転)していったものと考えると、角度はこの移動量(回転角)を示すものでもある。この観点からは角度は 2 つの半直線の開き具合を示す量ともいえる。実際、このような回転から角および角度を定義している事典もある[4]。

上記の点 O と 2つの半直線が定まると、それらにより平面αが分割されて生じる 2つの領域にそれぞれ対応して 2つの角が生じる。この 2 つの角のうち角度が大きいほうを優角[5][6][7][3][8]、小さいほうを劣角[7][3][9]と呼ぶ。明らかにどんな一組の頂点と2辺についても、その優角と劣角との角度の和は、2πで一定である。

平面α上の 1点で交わる 2つの直線は平面αを 4つの領域に分け、それぞれの領域に対応する 4つの角が生じる。これら 4つの角を、この 2つの直線のなす角という。1点で交わる 2つの直線は同一平面上にあるので、"平面上の"という条件は実は必要がない。

ダフィット・ヒルベルトがその著書の"幾何学基礎論"において示した公理系[1]では、「端点を共有する 2つの半直線の組」(引用文献のままの表現ではない)として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している数学辞典[5][2]や国語辞典[7][3][10]が多く、最も受け入れられた数学的定義とみなせる。

この定義の前記定義との違いは 2つの半直線が挟む領域を含めていないことである。ヒルベルトの公理系ではそのかわり、平面αが角(2つの半直線)により分割されて生じる 2つの領域の一方を角の内部、他方を角の外部として区別している。角度の小さい領域が内部になるのだが、この段階では角度はまだ定義されていないため、別の方法での定義をしている。そして定理20で角の大小関係を定義している。すなわち、1辺を共有する 2つの角のうち1方の角θ1の辺が他方の角θ2の内部にあれば、θ1＜θ2であると定義する。