数学において、絶対値（ぜったいち、absolute value）とは数の「大きさ」を計る1つの考え方であり、その数が 0 からどれだけ離れているかを表す。

実数に関して言うならば、ある実数の絶対値とはその数から負符号を取り除いたものになる。 例えば、3 の絶対値と -3 の絶対値はともに 3 である。 3 も -3 も、どちらも 0 から 3 だけ離れた数だからである。

一般に、実数 a の絶対値は、a ? 0 ならば a そのものであり、a < 0 ならば -a である。

a の絶対値を |a| と記す。
目次

1 絶対値の性質

2 複素数の絶対値

3 拡張

4 関連項目

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絶対値の性質
|a| ? 0

a = 0 のとき、且つそのときに限って、|a| = 0

|ab| = |a| |b|

|a/b| = |a|/|b| (if b ≠ 0)

|a + b| ? |a| + |b| （三角不等式）

|a - b| ? | |a| - |b| |



-b ? a ? b のとき、且つそのときに限って、|a| ? b

最後の性質はしばしば不等式を解くのに用いられる。例えば、|x - 3| ? 9⇔ -9 ? x - 3 ? 9⇔ -6 ? x ? 12

絶対値関数 f(x) = |x| は連続であり、また x = 0 以外で微分可能である。

複素数の絶対値

複素数 z = a + ib に対して、絶対値 |z| を と定義する。 すると、これは上記の 1-6 の性質を満たす。 また、を複素共役とすれば である。

z をガウス平面上の点として解釈すれば、|z| とは原点から z までの距離である。複素数を扱う際に、その数を絶対値と偏角とによって表す極形式の考え方は有益である。

拡張

絶対値の概念を拡張したものとしてノルムがある。上記の実数に対する絶対値、複素数に対する絶対値はどちらもノルムの条件を満たす。あるいは有理数体上の p-進絶対値など、体の付値も絶対値の一般化である。

関連項目

ノルム

付値
カテゴリ: 幾何学 | 数学に関する記事

更新日時:2008年9月19日(金)12:43
取得日時:2008/10/07 22:37