直交（ちょっこう）とは、「垂直に交わること」 の意である。もっとも単純にはユークリッド空間内の交わる二つの直線や平面のなす角が直角であることを意味する。たとえば、水平面上に鉛直に直線を下ろせば、この直線と平面は直交する。

このことは、直線と曲線または曲線同士、あるいは平面と曲面または曲面同士、もしくは曲線と曲面などの場合にも、交点において曲線の接線（または法線）あるいは曲面の接平面または法線などを考えることにより拡張できる。すなわち接線同士（または法線同士）の直交を以って二つの曲線の直交を定義するのである。

また、上のことは（幾何学的）ベクトルの概念を導入すれば、交点における接線、接平面（または法線）の代わりに交点における接ベクトル（または法ベクトル）の直交性として認識することが可能である。 このとき、ユークリッド空間において標準的に定義される内積 ・ を用いることにより、ベクトル a, b が直交するということを、その内積 a ・ b が 0 であると言い換えることができる。このことは、（ベクトルのなす角という量的な評価を犠牲にするとしても、）もっと一般の内積を持つベクトル空間において直交の概念を拡張させる。

定義

内積 <, > を持つ、あるベクトル空間の 2 つの元 x, y に対して、

なる関係が成り立つ時、2 つのベクトル x, y は直交していると言う。

たとえば、区間 (-π, π) で二乗可積分な実数値関数全体のなすベクトル空間 L2(-π, π) は f, g に対し、内積

をもち、L2(-π, π) の二つの関数 sin x, cos x はこの内積に関して直交する。もっと一般に、集合 {1, sin nx, cos mx | n, m ∈ N} は L2(-π, π) の直交基底になる。

関連項目

平行

フーリエ級数

直交化

グラム・シュミットの正規直交化法


直交群

直交関数列
カテゴリ: 線型代数学 | 数学に関する記事

更新日時:2008年8月10日(日)15:41
取得日時:2008/09/01 16:01