平方数（へいほうすう、square number）とは、狭義には別の自然数の二乗（平方）になっているような自然数のことである。四角数（しかくすう）とは多角数で、正方形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数に合致する自然数のこと。表現が異なるが、実際には二つの概念は一致する。定義より最小の平方数は12=1 であり、平方数は無限にある。

例えば16は、一つの辺に点を4つ並べて正方形をつくったときに該当するので平方数の一つである。14916

平方数を小さいものから順に列記すると 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500...となる。(50×50まで)

n 番目の平方数 Sn は、式 Sn = n2 で表すことができる。

目次

1 平方数による表現

2 他のトリビア

3 参考文献

4 関連項目

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平方数による表現

すべての自然数は、高々 4 個の四角数の和で表わされる。（→四平方定理）

すべての自然数は、平方数と偶数の平方数と三角数との和で表わされる。（→多角数定理）

すべての自然数は、平方数と二個の三角数との和で表わされる。（→多角数定理）

4k+1の形の素数は二個の平方数の和で表される。（→二個の平方数の和）

8k+1,3の形の素数はx2+2y2で表される。（→二個の平方数の和#重みつき平方数の和）

12k+1,7の形の素数はx2+3y2で表される。（→二個の平方数の和#重みつき平方数の和）

8k+1,2,3,5,6の形の自然数は高々三個の平方数の和で表される。（→三個の平方数の和）

他のトリビア

1以外の平方数は合成数であり、約数を奇数個持つ。

n 番目の平方数 Sn は 1 から 2n - 1 までの n 個の奇数の和に等しい。

1からn 番目の平方数 Sn までの和はである。

平方数の逆数の総和はである。（→ゼータ関数）

n2と(n+1)2の間に必ず素数があるかは、証明されていない。だが、素数であるか2個の素数の積である数が存在することは、1975年に陳景潤によって証明されている。

平方数は、完全数でありえないことが分かっている。

フィボナッチ数のうち平方数であるのは 1 と 144 のみといわれている。

平方数は2つの連続した三角数の和として表わされる。

1万、1億、1兆などの数は 104n = (102n)2 と表わされるので全て平方数である。

10の位が奇数の場合は、一の位は必ず6になる。16, 36, 196, 256 など。

下2桁が25の場合は、百の位は必ず、0、2、6のいずれかになる。(5番目の平方数である25の場合、百の位は0と見なす。)25、225、625、1225 など。

平方数は１から階差数列にさらに階差数列（1, 4, 9, 16であればその差は3, 5, 7、さらにその差は2, 2）が重なったものである。3+2×(3-1)=7、(3+7)×3÷2=15、1+15=16となる。

144と441、169と196と961、256と625、1024と2401のように、数字を並べ替えただけで、別の平方数になるものが多い。