交互階乗（こうごかいじょう、英:alternating factorial）は自然数で、階乗数を以下の式にしたがって足し合わせた数である。

af(n)はn番目の交互階乗を表わす。例えば3番目の交互階乗は 1! -2! +3! =5 であり、4番目の交互階乗は -1! +2! -3! +4! =19 と計算される。交互階乗は次の漸化式の形で表わすこともできる。af(n) = n! − af(n − 1)

ただし af(1)=1 である。交互階乗を1から小さい順に列記すると1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019, …

交互階乗は全て奇数である。またn番目の階乗数とn番目の交互階乗は互いに素である。

Miodrag Zivkovi?は1999年に素数の交互階乗の個数が有限であることをaf(3612702)が3612703で割り切れることから証明した。つまり n≧3612702 においてaf(n)は全て3612703で割り切れる合成数である。現在af(n)は以下のnの値をとるとき素数もしくは確率的素数となることが知られている。3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164

af(661)が知られている中では最も大きい素数である。

外部リンク

Yves Gallot, ⇒Is the number of primes finite?

Paul Jobling, ⇒Guy's problem B43: search for primes of form n!-(n-1)!+(n-2)!-(n-3)!+...+/-1!

関連項目

階乗
カテゴリ: 数論 | 整数の類 | 数学に関する記事

更新日時:2007年3月16日(金)00:16
取得日時:2008/08/21 17:46