二体問題（にたいもんだい、Two-body problem）は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、共通の重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

目次

1 問題の記述

1.1 重心の動き

1.2 変位ベクトルの動き


2 関連項目

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問題の記述

とを2つの物体の位置、m1、m2を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間tに対して軌跡及びを確定させることである。

最初の位置を と 、

最初の速さを と

と置くと、運動の第2法則によりと書ける。

ここで、は質量1が質量2から受ける力であり、は質量2が質量1から受ける力である。

この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表わす方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトルの経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡とが記述できる。

重心の動き

式1と式2を足すと、

となる。ここで運動の第3法則を使うと、

となり、これは重心の位置を表わす。ここから得られる式

は、重心の速度と、 全運動量が一定であることを意味する。 つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き

上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

が得られる。ここで、は、質量2から質量1への変位ベクトルである。

2つの物体に働く力はの関数となり、との絶対値には関係しない。 この式は次のように書ける。

ここでμは換算質量であり、

である。

とを使うと、軌跡の方程式は

と書ける。

関連項目

ケプラーの法則

ビリアル定理

多体問題
カテゴリ: 力学 | 天文学

更新日時:2008年6月6日(金)12:47
取得日時:2008/10/12 23:09