モノイドは、二項演算の定義された集合の一種である。単系と訳されることもある。
モノイドとは次のような集合 S をいう。
S 上に二項演算 ・ が定義されていて（すなわち、写像 ・ :S×S → S が存在して）、 次の二つの条件を満たす。
（結合法則） 任意の a, b, c に対して (a ・ b ) ・ c = a ・ (b ・ c )
（単位元の存在） ある e が存在して任意の a に対して e ・ a = a ・ e = a
ただし、a ・ b は ・ (a, b) を表す。
二項演算 ・ が条件の 1. を満たすとき、S は半群と呼ばれる。つまり、モノイドとは「半群であって単位元を持つもの」である。
また、二項演算 ・ が上のほかに、逆元の存在を満たすとき、S は群と呼ばれる。
モノイドの例
（ 0 を含む）自然数全体の集合 N は、足し算について 0 を単位元とするモノイドである。
上の集合 N は、さらにかけ算に対しても 1 を単位元とするモノイドである。
正の自然数全体の集合 N+ は、かけ算に対して 1 を単位元とするモノイドである。
集合 S から S 自身への写像全体の集合は、写像の合成を演算と考えることで、恒等写像を単位元とするモノイドになる。
自然数係数の n 次正方行列全体の集合 Mn(N) は、足し算に関しても（単位元は零行列）かけ算に関しても（単位元は単位行列）モノイドである。
環を乗法群としてみたとき、環はモノイドである。
その他、すべての群はモノイドである。
モノイドのなかで、逆元を持つ元のことを単元という。単元全体の集合は群をなす。
カテゴリ: 代数的構造 | 数学に関する記事
更新日時:2008年8月21日(木)22:51
取得日時:2008/09/08 09:19