メルセンヌ数（めるせんぬすう、Mersenne number）とは、2の冪よりも 1 小さい自然数、すなわち 2n ? 1 の形の自然数である。これを Mn で表すことが多い。2進数で表記すると n 桁の 1111…1 である。また、素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数という。後述するように、完全数との関連によって、メルセンヌ素数が特に興味ある対象である。Mn がメルセンヌ素数であるためには n が素数であることが必要である。メルセンヌ数という語で、n が素数であるもののみを指したり、もしくはもっと狭くメルセンヌ素数のみを指す場合もある。
目次

1 歴史

2 数学的性質

3 素数判定法

4 発見されているメルセンヌ素数と対応する完全数の表

5 未解決問題

6 関連項目

7 参考文献

8 外部リンク

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歴史

1644年にマラン・メルセンヌは 2n ? 1 が素数になるのは、n ? 257 では、n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 だけであると発表した。しかしその主張の一部は誤っていた。リストに含まれていない M61, M89, M107 が素数であり、リストに含まれている M67, M257 は合成数である。

1957年にリーゼル数の発見者でもあるスウェーデンの数学者であるハンス・リーゼルがコンピュータを使用して18番目のメルセンヌ素数を発見して以降、発見にはコンピュータが使用されており、コンピュータの進歩と共に新たなメルセンヌ素数が発見されつつある。

数学的性質

n が素数でなければ Mn は素数とならないが、n が素数であっても Mn が素数になるとは限らない。前者は次の式から示される；

p が素数の時、Mp の素因数は 2p を法として 1 と合同、かつ 8 を法として 1 または ?1 と合同である。また、p が 4 を法として 3 と合同なとき、Mp が 2p + 1 で割れることと、2p + 1 が素数であることは同値である。また、Mp の最大の素因数 q は q ? Cn log p（C は計算可能な定数）を満足することが知られている[1]。

Mp = 2p ? 1 が素数であるならば、2p ? 1(2p ? 1) は完全数となる。この事実はすでに紀元前4世紀のユークリッドによって知られていた。およそ二千年の後に、全ての偶数の完全数はこの形の時に限るという事が18世紀のオイラーにより証明された。

現在メルセンヌ素数は44個まで知られている。ただし、メルセンヌ素数としての番号が確定しているものは39番目までであり、p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281,
3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917

としたときの Mp がそうである。さらに40番目の候補として p = 20996011 が挙がっており、現在間に素数がないかどうか検証中である。

分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS はメルセンヌ素数を発見することを目的としており、近年発見されたものは全てこのプロジェクトによるものである。

2004年5月15日、GIMPS は41番目の素数候補が発見されたことを発表した。検証後723万5733桁の数、224036583 ? 1 が素数であることが確認された。

2005年2月27日、GIMPS は42番目の素数候補がドイツの眼科医によって発見されたことを報告した。781万6230桁の数、225964951 ? 1 であり、 ⇒[1]に掲載されている。

2005年12月15日、GIMPS は43番目の素数候補が米国のセントラルミズーリ州大学の教授2名によって発見されたと報じた。230402457 ? 1、915万2052桁 ⇒[2]。

2006年9月4日、GIMPS は44番目の素数候補が、43番目の素数候補を発見したのと同じ教授2名によって発見されたと報じた。232582657 ? 1、980万8358 桁 ⇒[3]。

2008年8月23日、GIMPS は46番目の素数候補が、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の数学部のコンピュータによって発見されたと報じた。243112609 ? 1、1297万8189 桁 ⇒[4]。発見順では45番目だが、次に発見されたメルセンヌ素数と発見時期が近かった為、46番目の候補として45番目の候補と同時に発表された。この素数は電子フロンティア財団が賞金を掛けた1000万桁以上の最初の素数となる為、GIMPSによって同校数学部に50,000ドル、慈善事業に25,000ドル、残りを前の6つのメルセンヌ素数の発見者へ分配する事になった。

2008年9月6日、GIMPS は45番目の素数候補が、ドイツで発見されたと報じた。237156667 ? 1、1118万5272 桁 ⇒[5]。これは、GIMPSによって発見された中では、発見順序と桁数が逆転した初めてのケースである。

素数判定法

メルセンヌ数が素数かどうかを調べるための判定法としてリュカテストがある。

p が奇素数のとき、Mp が素数となるための必要十分条件は、S0 = 4, Sk = Sk?12 ? 2 (k > 1) と定義したときに Sp ? 2 が Mp で割り切れることである。

発見されているメルセンヌ素数と対応する完全数の表

Mp = 2p ? 1No.pMpの桁数完全数
2p?1Mp年発見者
1216ancient-
23128ancient-
352496ancient-
4738128ancient-
5134335503361456年不明
6176216M171588年カタルディ
7196218M191588年カタルディ
83110230M311772年オイラー
96119260M611883年ぺボジーネ
108927288M891911年パワーズ