フィボナッチ数（ふぃぼなっちすう、Fibonacci number）とは、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ（ピサのレオナルド）にちなんで名付けられた数である。n 番目のフィボナッチ数を Fn で表わすと　

で定義される。

この数列はフィボナッチ数列と呼ばれ、最初の数項は0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

である。定義より、どの項もその前の2つの項の和となっている。

1202年にフィボナッチが発行した『算盤の書』(Liber Abaci) に記載されたが、その前に、インドの数学書にも記載されていた[1][2]。

フィボナッチ数列は、漸化式 Fn = Fn?1 + Fn?2 を全ての整数 n に対して適用することにより、n が負の整数の場合に拡張できる。そして F?n = (?1)n+1Fn が成り立つ。この式より、負の番号に対する数項は次のようになる。…, ?55, 34, ?21, 13, ?8, 5, ?3, 2, ?1, 1.
目次

1 兎の問題

2 一般項

3 性質

4 その他の話題

5 最初の50項

6 類似の数列

6.1 トリボナッチ数

6.2 テトラナッチ数

6.3 リュカ数


7 関連項目

8 参考文献

9 脚注

10 外部リンク

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兎の問題

フィボナッチは次の問題を考案した。1つがいの兎は、産まれて2か月後から毎月1つがいずつの兎を産む。1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか？

この条件のもとで、つがいの数は次の表のようになる。どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ数が現れていることがわかる。

 産まれたつがい1か月目のつがい2か月目以降のつがいつがいの数（合計）
0か月目1001
1か月目0101
2か月目1012
3か月目1113
4か月目2125
5か月目3238
6か月目53513
7か月目85821
8か月目1381334
9か月目21132155
10か月目34213489
11か月目553455144
12か月目895589233

一般項

フィボナッチ数列の一般項は次の式で表される:ただし、は黄金比。

次の近似式は Fn の値を 0.28 以下（n > 4 のとき1%以下）の誤差で与える。

したがって、Fn の正確な整数値は以下の式で与えられる。ただし、 は床関数。

フィボナッチ数列の漸化式は次のように行列表現できる:ゆえに

性質

隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比 φ に収束する。導出: とおけば、


p と q の最大公約数が r であるならば Fp と Fq の最大公約数は Fr である。このことより以下を導くことができる。

m が n で割り切れるならば、Fm は Fn で割り切れる。

連続する2数は互いに素であることより、隣り合うフィボナッチ数も互いに素である。


Fm が偶数となるのは m が 3 の倍数となるときと一致する。

Fm が 5 の倍数となるのは m が 5 の倍数となるときと一致する。

p が 2 でも 5 でもない素数のとき、m = p ? (5/p) とおくと p は Fm を割り切る。ここで (/) はルジャンドル記号である。

フィボナッチ数の累和や累積について以下の式が成り立つ:

次の関係式が知られている。

フィボナッチ数のうち平方数であるものは F1 = F2 = 1, F12 = 144 のみ (Cohn 1964)[3]、立方数であるものは F1 = F2 = 1, F6 = 8 のみ (London and Finkelstein 1969)[4] である。フィボナッチ数のうち累乗数であるものはこれしかない (Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006)[5]。

その他の話題ヒマワリの種の数をらせんに沿って数えてゆくとフィボナッチ数があらわれる。

フィボナッチ数は自然界の現象に数多く出現する。

葉序（植物の葉の付き方）はフィボナッチ数と関連している。

蜜蜂の家系を辿っていくとフィボナッチ数列が現れる。



n 段の階段を1段または2段ずつ登るときに、登る場合の数は Fn+1 通りある。

●と○を合わせて n 個並べる。●が2個以上続かないように一列に並べる方法は Fn+2 通りある。

最初の50項

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049…（オンライン整数列大辞典の数列 ⇒A000045）